Question

過x軸上的動(dòng)點(diǎn)T（t，0），引拋物線y=x²+1兩條切線TP，TQ，P，Q為切點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：直線PQ過定點(diǎn)N，并求出定點(diǎn)N坐標(biāo)；
（Ⅱ）若t≠0，設(shè)弦PQ的中點(diǎn)為M，試求S_△OTM|OT|的最小值（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據(jù)拋物線方程設(shè)出P，Q的坐標(biāo)，把P，Q分別代入拋物線方程進(jìn)行求導(dǎo)，可求得直線TP，TQ的斜率，進(jìn)而利用兩點(diǎn)表示出兩直線的斜率，建立等式整理后可推斷出x₁，x₂為方程x²-2tx-1=0的兩根，利用韋達(dá)定理可表示出x₁+x₂和x₁x₂，進(jìn)而利用點(diǎn)斜式表示出直線PQ的方程，整理后把x₁+x₂和x₁x₂的表達(dá)式代入，求得y=2tx+2，進(jìn)而可推斷出直線PQ恒過定點(diǎn)（0，2）
（Ⅱ）設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，進(jìn)而利用三角形面積公式表示出△OTM的面積，根據(jù)直線PQ恒過定點(diǎn)（0，2），設(shè)直線PQ方程，代入拋物線方程，整理后，利用韋達(dá)定理求得（x₁+x₂）=Kx₁x₂=-1．利用二次函數(shù)的性質(zhì)可k的值確定y的最小值，進(jìn)而確定S_△OTM|OT|的最小值．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)P（x₁，x₁²+1），Q（x₂，x₂²+1）
把P代入拋物線方程進(jìn)行求導(dǎo)得y'=2x₁，即PT的斜率為2x₁，
∴=2x₁，整理得x₁²-2tx₁-1=0；同理可得x₂²-2tx₂-1=0
∴x₁，x2為方程x²-2tx-1=0的兩根
∴x₁+x₂=2t，x₁x₂=-1
直線PQ的方程：y-（x₁²+1）=（x-x₁）
整理得：y=（x₁+x₂）x-x₁x₂+1；即y=2tx+2
∴直線PQ恒過定點(diǎn)（0，2）

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)為（x，y），則s_△OTM：|OT|=，
由（Ⅰ）直線PQ過定點(diǎn)N（0，2），
設(shè)直線PQ方程為y=kx+2代入y=x²+1整理得x²-kx-1=0，
設(shè)p（x₁，y₁）Q（x₁，y₂），則（x₁+x₂）=Kx₁x₂=-1，y=k+2=，
當(dāng)k=0時(shí)，y最小值為：2，
所以s_△OTM：|OT|最小值為：1．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了拋物線的應(yīng)用和直線與拋物線的關(guān)系．注重了學(xué)生分析推理和基本的計(jì)算能力的考查．