Question

已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓C任意一點(diǎn)P到兩個(gè)焦點(diǎn)F1(-

3

，0)和F2(

3

，0)的距離之和為4．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)過（0，-2）的直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，且

OA

•

OB

=0（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)橢圓的定義，知 a=2，c=

3

，則b=

a2-c2

=1．由此能求出動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程．
（2）當(dāng)直線l 的斜率不存在時(shí)，不滿足題意．當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)l的方程為y=kx-2，設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），由

OC

•

OD

=0，知x₁x₂+y₁y₂=0，由y₁=kx₁-2，y₂=kx₂-2，知y₁y₂=k²x₁x₂-2k（x₁+x₂）+4，由此入手能夠求出直線l的方程．

解答：解：（1）根據(jù)橢圓的定義，知 a=2，c=

3

，則b=

a2-c2

=1． …（2分）
所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為

x2

4

+y2=1． …（4分）
（2）當(dāng)直線l 的斜率不存在時(shí)，不滿足題意．
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)l的方程為y=kx-2，設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），∵

OC

•

OD

=0，∴x₁x₂+y₁y₂=0，∵y₁=kx₁-2，y₂=kx₂-2，∴y₁y₂=k²x₁x₂-2k（x₁+x₂）+4，
∴（1+k²）x₁x₂-2k（x₁+x₂）+4=0．①
由方程組

x2 4 +y2=1 y=kx-2

得（1+4k²）x²-16kx+12=0．
則x1+x2=

16k

1+4k2

，x1x2=

12

1+4k2

，
代入①，得(1+k2)•

12

1+4k2

-2k•

16k

1+4k2

+4=0，
即k²=4，解得k=2或k=-2，
∴直線l的方程是y=2x-2或y=-2x-2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程和直線方程的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．