Question

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知 BC=1，BB₁=2，∠BAC=30°，∠BCC₁=90°，AB⊥側(cè)面BB₁C₁C，則直線C₁B與側(cè)面ACC₁A₁所成角的正弦值為________．

Answer 1

分析：以BA為x軸，以BC為y軸，以BB₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由BC=1，BB₁=2，∠BAC=30°，∠BCC₁=90°，AB⊥側(cè)面BB₁C₁C，知，，，設(shè)面ACC₁A₁的法向量，則，所以，由此利用向量法能求出直線C₁B與側(cè)面ACC₁A₁所成角的正弦值．
解答：解：以BA為x軸，以BC為y軸，以BB₁為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
∵BC=1，BB₁=2，∠BAC=30°，∠BCC₁=90°，AB⊥側(cè)面BB₁C₁C，
∴A（），B（0，0，0），C（0，1，0），C₁（0，1，2），
∴，，，
設(shè)面ACC₁A₁的法向量，
則，
∴，
設(shè)直線C₁B與側(cè)面ACC₁A₁所成角為θ，
sinθ=|cos＜＞|=||=．
故答案為：．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面所成角的正弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，恰當(dāng)?shù)亟�立空間直角坐標(biāo)系，注意向量法的合理運(yùn)用．