Question

已知函數(shù)f（x）=a（x²+1）+lnx．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）若對(duì)任意a∈（-4，-2）及x∈[1，3]時(shí)，恒有ma-f（x）＞a²成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性即可；
（2）由題意得恒有ma-f（x）＞a²成立，等價(jià)于ma-a²＞f（x）_max，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的最大值，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=2ax+

1

x

=

2ax2+1

x

（x＞0），…（2分）
①當(dāng)a≥0時(shí)，恒有f′（x）＞0，則f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；…（4分）
②當(dāng)a＜0時(shí)，當(dāng)0＜x＜

- 1 2a

時(shí)，f′（x）＞0，則f（x）在（0，

- 1 2a

）上是增函數(shù)；
當(dāng)x＞

- 1 2a

時(shí)，f′（x）＜0，則f（x）在（

- 1 2a

，+∞）上是減函數(shù) …（6分）
綜上，當(dāng)a≥0時(shí)，f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）在（0，

- 1 2a

）上是增函數(shù)，f（x）在（

- 1 2a

，+∞）上是減函數(shù)．…（7分）
（Ⅱ）由題意知對(duì)任意a∈（-4，-2）及x∈[1，3]時(shí)，
恒有ma-f（x）＞a²成立，等價(jià)于ma-a²＞f（x）_max，
因?yàn)閍∈（-4，-2），所以

2

4

＜

- 1 2a

＜

1

2

＜1，
由（Ⅰ）知：當(dāng)a∈（-4，-2）時(shí)，f（x）在[1，3]上是減函數(shù)
所以f（x）_max=f（1）=2a…（10分）
所以ma-a²＞2a，即m＜a+2，
因?yàn)閍∈（-4，-2），所以-2＜a+2＜0…（12分）
所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為m≤-2    …13

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性及求函數(shù)的最值知識(shí)，考查恒成立問(wèn)題的等價(jià)轉(zhuǎn)化思想及分類(lèi)討論思想的運(yùn)用能力，屬難題．