Question

【題目】已知a，b是正實數(shù)，設(shè)函數(shù)f（x）=xlnx，g（x）=﹣a+xlnb．
（Ⅰ）設(shè)h（x）=f（x）﹣g（x），求h（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若存在x0 ， 使x0∈[ ， ]且f（x0）≤g（x0）成立，求 的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵h(yuǎn)（x）=f（x）﹣g（x）=xlnx+a﹣xlnb

∴h′（x）=lnx+1﹣lnb

由h′（x）＞0得x＞ ，

∴h（x）在（0， ）上單調(diào)遞減，（ ，+∞）上單調(diào)遞增．…

（Ⅱ）由 ＜ 得 ＜7 …

（i）當(dāng) ≤ ≤ ，即 ≤ ≤ 時，

h（x）min=h（ ）=﹣ +a

由﹣ +a≤0得 ≥e，

∴e≤ ≤ …

（ii）當(dāng) ＜ 時，a＞

∴h（x）在[ ， ]上單調(diào)遞增．

h（x）min=h（ ）= （ln ﹣lnb）+a≥ （ln ﹣lnb）+a= ＞ = b＞0

∴不成立 …

（iii）當(dāng) ＞ ，即 ＞ 時，a＜ b

h（x）在[ ， ]上單調(diào)遞減．

h（x）min=h（ ）= （ln ﹣lnb）+a＜ （ln lnb）+a= ＜ = ＜0

∴當(dāng) ＞ 時恒成立 …

綜上所述，e≤ ＜7 …

【解析】（I）先對h（x）求導(dǎo)，再令h′（x）＞0，解不等式可得h（x）的單調(diào)遞增區(qū)間，令h′（x）<0，解不等式可得h（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；（II）先將已知條件轉(zhuǎn)化為h（x）min0，再對的范圍進(jìn)行討論可得h（x）min，進(jìn)而可得的取值范圍．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減．