定義：離心率e=
5
-1
2
的橢圓為“黃金橢圓”，已知E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)為F（c，0）（c＞0），則E為“黃金橢圓”是a，b，c成等比數(shù)列的（　�。�
分析：通過橢圓的離心率與a，b，c的關(guān)系，由黃金橢圓推出a，b，c是等比數(shù)列，再有a，b，c是等比數(shù)列，求出橢圓的離心率，即可判斷橢圓是不是黃金橢圓，即可判斷選項(xiàng)．
解答：解：對(duì)于黃金橢圓有c=a•e=a•
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-1
2
，b2=a2-c2=a2•
5
-1
2
=a•c，所以黃金橢圓的a．b．c必成等比數(shù)列，如果a．b．c成等比數(shù)列，所以b2=a2-c2=a•c，e2+e-1=0，解得，e=
5
-1
2
，所以橢圓是黃金橢圓；
所以E為“黃金橢圓”是a，b，c成等比數(shù)列的充分且必要條件．故選B．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的基本性質(zhì)，等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，充要條件的判斷方法．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

定義：離心率e=
5
-1
2
的橢圓為“黃金橢圓”，已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的一個(gè)焦點(diǎn)為F（c，0），p為橢圓E上任意一點(diǎn)．
（1）試證：若a、b、c不是等比數(shù)列，則E一定不是“黃金橢圓”；
（2）若E為黃金橢圓；問：是否存在過點(diǎn)F，P的直線l；使l與y軸的交點(diǎn)R滿足
RP
=-2
PF
；若存在，求直線l的斜率K；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

定義：離心率e=
5
-1
2
的橢圓為“黃金橢圓”，已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1（-c，0）、F2（c，0）（c＞0），P為橢圓E上的任意一點(diǎn)．
（1）試證：若a，b，c不是等比數(shù)列，則E一定不是“黃金橢圓”；
（2）設(shè)E為“黃金橢圓”，問：是否存在過點(diǎn)F2、P的直線l，使l與y軸的交點(diǎn)R滿足
RP
=-2
PF2
？若存在，求直線l的斜率k；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）設(shè)E為“黃金橢圓”，點(diǎn)M是△PF1F2的內(nèi)心，連接PM并延長(zhǎng)交F1F2于N，求
|PM|
|PN|
的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

定義：離心率e=
5
-1
2
的橢圓為“黃金橢圓”，對(duì)于橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，c為橢圓的半焦距，如果a，b，c不成等比數(shù)列，則橢圓E（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

定義：離心率e=
5
-1
2
的橢圓為“黃金橢圓”，已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的一個(gè)焦點(diǎn)為F（c，0）（c＞0），P為橢圓E上的任意一點(diǎn)．
（1）試證：若a，b，c不是等比數(shù)列，則E一定不是“黃金橢圓”；
（2）沒E為黃金橢圓，問：是否存在過點(diǎn)F、P的直線l，使l與y軸的交點(diǎn)R滿足
RP
=-2
PF
？若存在，求直線l的斜率k；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）已知橢圓E的短軸長(zhǎng)是2，點(diǎn)S（0，2），求使
SP
2取最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

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