Question

已知函數(shù)f（x）=

ln(ex+a+1)

x

（a為常數(shù)，是x∈（-∞，0）∪（0，+∞）上的偶函數(shù)．
（Ⅰ）求實數(shù)a的值，
（Ⅱ）已知函數(shù)g（x）=

b

ln(ex+a+1)

-lnx，若g（x）≥5-3x恒成立，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（Ⅰ）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，建立方程關系，即可求實數(shù)a的值，
（Ⅱ）將不等式恒成立，進行參數(shù)分類，利用導數(shù)求函數(shù)的最值即可得到結論．

解答： 解：（Ⅰ）若函數(shù)f（x）=

ln(ex+a+1)

x

（a為常數(shù)，是x∈（-∞，0）∪（0，+∞）上的偶函數(shù)，
則f（-1）=f（1），
即-ln（

1

e

+a+1）=ln（e+a+1），
則ln（

1

e

+a+1）+ln（e+a+1）=ln[（

1

e

+a+1）（e+a+1）]=0，
即（

1

e

+a+1）（e+a+1）=1
則1+

1

e

（a+1）+e（a+1）+（a+1）²=1，
即（a+1）（（

1

e

+1+a+1）=0，
∴a+1=0，解得a=-1，
此時f（x）=

ln(ex+a+1)

x

=

lnex

x

=

x

x

=1為偶函數(shù)，滿足條件，
故a=-1．
（Ⅱ）g（x）=

b

ln(ex+a+1)

-lnx=

b

ln(ex+1-1)

-lnx=

b

x

-lnx，
若g（x）≥5-3x恒成立，
則

b

x

-lnx≥5-3x恒成立，
即b≥xlnx+5x-3x²在x＞0恒成立，
設m（x）=xlnx+5x-3x²，
則m′（x）=lnx+6-6x，
由m′（x）=lnx+6-6x=0，解得x=1，
即0＜x＜1時，m′（x）＞0．，函數(shù)m（x）單調遞增，
即x＞1時，m′（x）＜0．，函數(shù)m（x）單調遞減，
即當x=1時，函數(shù)m（x）取得極小值，同時也是最小值m（1）=5-3=2，
故b≥2．

點評：本題主要考查函數(shù)奇偶性的應用，以及不等式恒成立問題，利用參數(shù)分離法，結合導數(shù)求函數(shù)的最值是解決本題的關鍵，綜合性較強，有一定的難度．