【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；

（Ⅱ）求函數(shù)在上的最大值；

（Ⅲ）求證：存在唯一的，使得.

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）6;（Ⅲ）證明見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線(xiàn)斜率，寫(xiě)出切線(xiàn)方程；（Ⅱ）寫(xiě)出函數(shù)在區(qū)間上導(dǎo)數(shù)的變化情況，列表求最值即可；（Ⅲ）構(gòu)造函數(shù)=，只需證明函數(shù)有唯一零點(diǎn)即可.

試題解析：（Ⅰ）由，得 ,

所以，又

所以曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為： ，即： .

（Ⅱ）令，得.

與在區(qū)間的情況如下：

-

0

+

極小值

因?yàn)?/span> 所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為6.

（Ⅲ）證明：設(shè)=，

則，

令，得.

與隨x的變化情況如下：

1

0

0

極大值

極小值

則的增區(qū)間為， ，減區(qū)間為.

又， ，所以函數(shù)在沒(méi)有零點(diǎn)，又，

所以函數(shù)在上有唯一零點(diǎn).

綜上，在上存在唯一的，使得.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】已知函數(shù)

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（2）用所給數(shù)字可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)？
（3）用所給數(shù)字可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字且比3142大的數(shù)？（最后結(jié)果均用數(shù)字作答）

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【題目】已知函數(shù)f（x）=xlnx，g（x）=（﹣x2+ax﹣3）ex（其中a實(shí)數(shù)，e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
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（2）求f（x）在區(qū)間[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（3）若存在x1 ， x2∈[e﹣1 ， e]（x1≠x2），使方程g（x）=2exf（x）成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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