已知動圓過定點(diǎn)（1,0），且與直線相切.
（1）求動圓圓心的軌跡方程；
（2）設(shè)是軌跡上異于原點(diǎn)的兩個不同點(diǎn)，直線和的傾斜角分別為和,①當(dāng)時，求證直線恒過一定點(diǎn)；
②若為定值，直線是否仍恒過一定點(diǎn)，若存在，試求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

（1）；（2）①參考解析，②

解析試題分析：（1）根據(jù)題意可假設(shè)拋物線方程為，由拋物線的定義可求得的值，從而可求得拋物線的方程.
（2）根據(jù)題意假設(shè)直線AB的方程，聯(lián)立拋物線的方程，消去y得到一個關(guān)于x的一元二次方程，由韋達(dá)定理得到A,B兩點(diǎn)坐標(biāo)的等式.①由直線的垂直可得到A,B坐標(biāo)的一個等式，從而可化簡直線AB的方程即可得到結(jié)論.②當(dāng)為一個一般的定值時，需要分類討論，解決問題的方法類似于①小題，同樣是通過A,B的斜率關(guān)系得到一個等式，從而得到結(jié)論.
試題解析：(1)設(shè)動圓圓心M(x,y),
依題意點(diǎn)M的軌跡是以(1,0)為焦點(diǎn),直線x=－1為準(zhǔn)線的拋物線其方程為.
(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).由題意得x1≠x2(否則)且x1x2≠0,則
所以直線AB的斜率存在,設(shè)直線AB的方程為y=kx+b,
則將y=kx+b與y2=4x聯(lián)立消去x,得ky2－4y+4b=0
由韋達(dá)定理得-------※
①當(dāng)=時,所以,所以y1y2=16,又由※知:y1y2=所以b=4k;因此直線AB的方程可表示為y=kx+4k,所以直線AB恒過定點(diǎn)(－4,0).
②當(dāng)為定值時.若=,由①知,
直線AB恒過定點(diǎn)M(－4,0)當(dāng)時,由,得==
將※式代入上式整理化簡可得:,所以,此時,直線AB的方程可表示為y=kx+,所以直線AB恒過定點(diǎn)所以當(dāng)時,直線AB恒過定點(diǎn)(－4,0).,
當(dāng)時直線AB恒過定點(diǎn)
考點(diǎn)：1.拋物線的定義.2.直線與拋物線的位置關(guān)系.3.過定點(diǎn)的問題.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

過橢圓的左頂點(diǎn)作斜率為2的直線，與橢圓的另一個交點(diǎn)為，與軸的交點(diǎn)為，已知.
（1）求橢圓的離心率；
（2）設(shè)動直線與橢圓有且只有一個公共點(diǎn)，且與直線相交于點(diǎn)，若軸上存在一定點(diǎn)，使得，求橢圓的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓C:+=1(a>b>0).
(1)若橢圓的長軸長為4,離心率為,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(2)在(1)的條件下,設(shè)過定點(diǎn)M(0,2)的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A,B,且∠AOB為銳角(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)),求直線l的斜率k的取值范圍.
(3)過原點(diǎn)O任意作兩條互相垂直的直線與橢圓+=1(a>b>0)相交于P,S,R,Q四點(diǎn),設(shè)原點(diǎn)O到四邊形PQSR一邊的距離為d,試求d=1時a,b滿足的條件.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，長軸長是短軸長的2倍，且經(jīng)過點(diǎn)M(2,1)，平行于OM的直線l在y軸上的截距為m，直線l與橢圓相交于A，B兩個不同點(diǎn)．

(1)求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
(2)證明：直線MA，MB與x軸圍成的三角形是等腰三角形．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖X15－3所示，已知圓C1：x2＋(y－1)2＝4和拋物線C2：y＝x2－1，過坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線與C2相交于點(diǎn)A，B，定點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0，－1)，直線MA，MB分別與C1相交于點(diǎn)D，E.

(1)求證：MA⊥MB；
(2)記△MAB，△MDE的面積分別為S1，S2，若＝λ，求λ的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知頂點(diǎn)為原點(diǎn)的拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合，與在第一和第四象限的交點(diǎn)分別為.
（1）若△AOB是邊長為的正三角形，求拋物線的方程；
（2）若，求橢圓的離心率；
（3）點(diǎn)為橢圓上的任一點(diǎn)，若直線、分別與軸交于點(diǎn)和，證明：．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓與雙曲線x2－y2＝0有相同的焦點(diǎn)，且離心率為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過點(diǎn)P(0，1)的直線與該橢圓交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若＝2，求△AOB的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：＝1(a>b>0)的離心率為，以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，橢圓C的短半軸長為半徑的圓與直線x－y＋2＝0相切．

(1)求橢圓C的方程；
(2)已知點(diǎn)P(0,1)，Q(0,2)，設(shè)M，N是橢圓C上關(guān)于y軸對稱的不同兩點(diǎn)，直線PM與QN相交于點(diǎn)T.求證：點(diǎn)T在橢圓C上．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知A，B，C是橢圓W：＋y2＝1上的三個點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)．
(1)當(dāng)點(diǎn)B是W的右頂點(diǎn)，且四邊形OABC為菱形時，求此菱形的面積；
(2)當(dāng)點(diǎn)B不是W的頂點(diǎn)時，判斷四邊形OABC是否可能為菱形，并說明理由．

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