Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=1，a_n≠0，a_na_n+1=λS_n-1，其中λ為常數(shù)．
（1）證明：a_n+2-a_n=λ；
（2）若{a_n}為等差數(shù)列，求λ的值．

Answer 1

考點：等差關系的確定,數(shù)列的函數(shù)特性

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）依題意得

anan+1=λSn-1① an+1an+2=λSn+1-1②

，②-①整理即可證得a_n+2-a_n=λ；
（2）a_n為等差數(shù)列，且a₁=1，設公差為d，易求λ=2d，在a_na_n+1=λS_n-1中，令n=1，可求得d=2，λ=4，再檢驗即可．

解答： （1）證明：由已知得：

anan+1=λSn-1① an+1an+2=λSn+1-1②

，
 ②-①得a_n+1（a_n+2-a_n）=λa_n+1．
∵a_n≠0∴a_n+2-a_n=λ．--7′
（2）解：∵a_n為等差數(shù)列，且a₁=1，設公差為d，則顯然有λ=2d．--------8′
在a_na_n+1=λS_n-1中，令n=1，λ=2d，得d=2，λ=4----------14′
此時，a_n=2n-1（n∈N⁺），驗證a_na_n+1=λS_n-1對n∈N⁺成立．----------16′

點評：本題考查等差關系的確定，考查推理證明與運算求解能力，屬于中檔題．