Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

1

2

，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸為半徑的圓與直線x-y+

6

=0相切，過點(diǎn)P（4，0）的直線L與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；   
（2）求

OA

•

OB

的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)離心率為

1

2

，可得a²=

4

3

b²，根據(jù)橢圓的短半軸為半徑的圓與直線x-y+

6

=0相切，可求b的值，從而可得橢圓的方程；
（2）由題意知直線AB的斜率存在，設(shè)直線PB的方程代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，及向量的數(shù)量積公式，即可確定

OA

•

OB

的取值范圍．

解答：解：（1）由題意知 e=

c

a

=

1

2

，∴e²=

c2

a2

=

a2-b2

a2

=

1

4

，即a²=

4

3

b²
又∵橢圓的短半軸為半徑的圓與直線x-y+

6

=0相切
∴b=

6

1+1

=

3

，∴a²=4，b²=3，
故橢圓的方程為

x2

4

+

y2

3

=1
（2）由題意知直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為y=k（x-4）．
疳直線方程y=k（x-4）代入橢圓方程可得：（3+4k²）x²-32k²x+64k²-12=0
由△＞0得：1024k⁴-4（3+4k²）（64k²-12）＞0，解得k²＜

1

4

             
設(shè)A（x₁，y₁），B （x₂，y₂），則x₁+x₂=

32k2

3+4k2

，x₁x₂=

64k2-12

3+4k2

∴

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=(1+k2)•

64 k2-12

4k2+3

-4k2•

32k2

4k2+3

+16k2=25-

87

4k2+3

∵0≤k2＜

1

4

，
∴

OA

•

OB

∈[-4，

13

4

)
∴

OA

•

OB

的取值范圍是[-4，

13

4

)

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，解題的關(guān)鍵是確定幾何量之間的關(guān)系，利用直線與橢圓聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理求解．