Question

【題目】已知數(shù)列、、滿足，．

（1）若數(shù)列是等比數(shù)列，試判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列，并說明理由；

（2）若恰好是一個(gè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和，求證：數(shù)列是等差數(shù)列；

（3）若數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，數(shù)列是等差數(shù)列，求證：數(shù)列是等差數(shù)列．

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，見解析；（2）見解析；（3）見解析.

【解析】

（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，分和兩種情況討論，結(jié)合等比數(shù)列的定義判斷即可；

（2）設(shè)是公差為的等差數(shù)列的前項(xiàng)和，推導(dǎo)出，由推導(dǎo)出，進(jìn)而可證得結(jié)論成立；

（3）利用數(shù)列是等差數(shù)列結(jié)合推導(dǎo)出，再結(jié)合數(shù)列是等比數(shù)列，推導(dǎo)出，由數(shù)列是等差數(shù)列得出，推導(dǎo)出，并將代入化簡(jiǎn)得，從而可證明出數(shù)列是等差數(shù)列.

（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，

當(dāng)時(shí)，，數(shù)列不是等比數(shù)列；

當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>，所以，所以數(shù)列是等比數(shù)列；

（2）因?yàn)?/span>恰好是一個(gè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和，設(shè)這個(gè)等差數(shù)列為，公差為，

因?yàn)?/span>，所以，

兩式相減得，

因?yàn)?/span>，

所以，

所以數(shù)列是等差數(shù)列；

（3）因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，所以，

又因?yàn)?/span>，所以，

即 ，則，

又因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列，所以，則，

即，

因?yàn)閿?shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，所以，

則，即，

又因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，所以，

即，化簡(jiǎn)得，

將代入得，化簡(jiǎn)得，

所以數(shù)列是等差數(shù)列．