解:(1)當a=1時,f(x)=x
3+x
2-x,∴f′(x)=3x
2+2x-1,
令f′(x)=0,則
,x
2=-1,…(2分)
x、f′(x)和f(x)的變化情況如下表
x | (-∞,-1) | -1 | | | |
f′(x) | + | 0 | - | 0 | + |
f(x) | ↗ | 極大值f(-1)=1 | ↘ | 極小值 | ↗ |
即函數(shù)的極大值為1,極小值為
; …(5分)
(2)f'(x)=3ax
2+2x-a,
若f(x)在區(qū)間[0,+∞)上是單調(diào)遞增函數(shù),則f'(x)在區(qū)間[0,+∞)內(nèi)恒大于或等于零,
若a<0,這不可能;
若a=0,則f(x)=x
2符合條件;
若a>0,則由二次函數(shù)f'(x)=3ax
2+2x-a的性質(zhì)知
,即
,這也不可能,
綜上可知,當且僅當a=0時,f(x)在區(qū)間[0,+∞)上單調(diào)遞增; …(10分)
(3)由f'(x)=3ax
2+2x-a,
,
∴h(x)=ax
2+(2a+1)x+(1-3a),x∈(-1,b],(b>-1),
當-1<x≤b時,令ax
2+(2a+1)x+(1-3a)≥0,…①,
由a∈(-∞,-1],∴h(x)的圖象是開口向下的拋物線,
故它在閉區(qū)間上的最小值必在區(qū)間端點處取得,…(11分)
又h(-1)=-4a>0,
∴不等式①恒成立的充要條件是h(b)≥0,即ab
2+(2a+1)b+(1-3a)≥0,
∵b>-1,∴b+1>0,且a<0,∴
,
依題意這一關(guān)于a的不等式在區(qū)間(-∞,-1]上有解,
∴
,即
,b
2+b-4≤0,
∴
,又b>-1,故
,
從而
. …(14分)
分析:(1)求導(dǎo)數(shù),確定函數(shù)的單調(diào)性,可得函數(shù)的極值;
(2)若f(x)在區(qū)間[0,+∞)上是單調(diào)遞增函數(shù),則f'(x)在區(qū)間[0,+∞)內(nèi)恒大于或等于零,由此可求a的取值;
(3)存在a∈(-∞,-1],對任意x∈(-1,b](b>-1)都有h(x)≥0成立,等價于h(x)≥h(-1)在區(qū)間[-1,b]上恒成立,即(x+1)[ax
2+(2a+1)x+(1-3a)]≥0,進而分類討論,即可求得結(jié)論.
點評:本題考查利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)最值的應(yīng)用,考查運算求解能力,推理論證能力;考查化歸與轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.