|
(1) |
解法一:∵正方形ABCD,∴CB⊥AB. ∵二面角C—AB—F是直二面角, CB⊥AB,∴CB⊥面ABEF. ∵AG,GB ∴CB⊥AG,CB⊥BG. 又AD=2a,AF=a,ABEF是矩形, G是EF的中點(diǎn), ∴AG=BG= ∴AG⊥BG. ∵CB∩BG=B,∴AG⊥平面CBG, 而AG 如圖,以A為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系, 則A(0,0,0),B(0,2a,0), C(0,2a,2a),G(a,a,0), F(a,0,0).
∴
∴AG=⊥BG,AG⊥BC,而BG與BC是平面BCG內(nèi)兩相交直線, ∴AG⊥平面BCG,又AG |
(2) |
解法一:如圖,由(1)知面ACG⊥面BGC,且交于GC,在平面BGC內(nèi)作BH⊥GC,垂足為H,則BH⊥平面AGC. ∴∠BGH是BG與平面AGC所成的角, ∴在Rt△CBG中 BH= 又BG= 解法二:設(shè)GB與平面AGC所成角為θ. 由題意可得 設(shè)平面AGC的一個(gè)法向量為n=(x,y,1), 由
(或:在證出 得cos< |
(3) |
解法一:由(2),BH⊥面AGC.作BO⊥AC,垂足為0,連結(jié)HO,則HO⊥AC, ∴∠BOH為二面角B—AC—G的平面角. ∵在Rt△ABC中,BO= ∴在Rt△BOH中, 即二面角B—AC—G的大小為arcsin 解法二:因n=(1,-1,1)是平面AGC的一個(gè)法向量, 又AF⊥平面ABCD,平面ABCD的一個(gè)法向量 ∴設(shè)n與 ∴二面角B—AC—G的大小為arccos |
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