Question

【題目】已知.

（1）求的單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)時(shí)，求證：對(duì)于，恒成立；

（3）若存在，使得當(dāng)時(shí)，恒有成立，試求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；（2）詳見解析；（3）.

【解析】

試題（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)后，利用導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性的關(guān)系，可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（2）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)在上遞減，且，則，故原不等式成立.（3）同（2）構(gòu)造函數(shù)，對(duì)分成三類，討論函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值，由此求得的取值范圍.

試題解析：

（1）

，

當(dāng)時(shí)，.

解得．

當(dāng)時(shí)，解得．

所以單調(diào)增區(qū)間為，

單調(diào)減區(qū)間為．

（2）設(shè)

，

當(dāng)時(shí)，由題意，當(dāng)時(shí)，

恒成立．

，

∴當(dāng)時(shí)，恒成立，單調(diào)遞減．

又，

∴當(dāng)時(shí)，恒成立，即．

∴對(duì)于，恒成立．

（3）因?yàn)?/span>

．

由（2）知，當(dāng)時(shí)，恒成立，

即對(duì)于，，

不存在滿足條件的；

當(dāng)時(shí)，對(duì)于，，

此時(shí)．

∴，

即恒成立，不存在滿足條件的；

當(dāng)時(shí)，令，

可知與符號(hào)相同，

當(dāng)時(shí)，，，

單調(diào)遞減．

∴當(dāng)時(shí)，，

即恒成立．

綜上，的取值范圍為．