Question

設(shè)點(diǎn)P是圓x²+（y+1）²=

3

4

上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作拋物線x²=4y的兩條切線，切點(diǎn)為A、B，求

PA

•

PB

的最小值及取得最小值時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：設(shè)出切線的方程，并與拋物線的方程聯(lián)立，由相切可得△=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系及數(shù)量積即可得出

PA

•

PB

，再利用點(diǎn)P在圓上及函數(shù)的導(dǎo)數(shù)即可求出最小值．

解答： 解：由題意可知：切線PA、PB的斜率都存在，分別為k₁，k₂，切點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
設(shè)過(guò)點(diǎn)P的拋物線的切線l：y=k（x-m）+n，代入x²=4y，
可得x²-4kx+（4km-4n）=0（*）．
∵直線l與拋物線相切，∴△=16k²-4×（4km-4n）=0，化為k²-km+n=0．
∴k₁+k₂=m，k₁k₂=n．（**）
此時(shí)，x₁=2k₁，y₁=

x12

1 4

=k12；同理，x₂=2k₂，y₂=k22．
∴

PA

•

PB

=（x₁-m）（x₂-m）+（y₁-n）（y₂-n）
=（2k1-m）（2k2-m）+（k12-n）（k22-n）
=4k₁k₂-2m（k₁+k₂）+m2+（k1k2）2-n[（k1+k2）2-2k1k2]+n2
=4n-2m²+m²+n²-n（m²-2n）+n²
=4n²+4n-m²（1+n）．
∵點(diǎn)P（m，n）在圓C₁上，
∴m²+（n+1）²=

3

4

，即 m²=

3

4

-（n+1）²，
代入上式可得

PA

•

PB

=n³+7n²+

25

4

n+

1

4

，
考查函數(shù)f（n）═n³+7n²+

25

4

n+

1

4

（-1-

3

2

≤n≤-1+

3

2

），．
求得f′（n）=3n²+14n+

25

4

=

1

4

（2n+1）6n+25），
令f′（n）=0，解得n=-

1

2

，或 n=-

25

6

．
當(dāng)n∈（-1-

3

2

-

1

2

）時(shí)，f′（n）＜0，f（n）為減函數(shù)，
當(dāng)n∈（-

1

2

，-1+

3

2

）時(shí)，f′（n）＞0，f（n）為增函數(shù)，
故當(dāng)n=-

1

2

 f（n）取得最小值為f（-

1

2

）=-

5

4

，
此時(shí)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P（±

2

2

，-

1

2

）．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握?qǐng)A錐曲線的定義與性質(zhì)、直線與圓錐曲線相切問(wèn)題的解決模式、根與系數(shù)的關(guān)系、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值等是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．