Question

已知定點A（4，0）和圓M：x²+y²=

9

4

（1）設(shè)點B是圓M上的動點，點P分

AB

之比為2：1，求點P的軌跡方程；
（2）設(shè)Q為直線x=3上的動點，過Q向圓M做切線，設(shè)切點為N，求QN的最小值；
（3）將（1）所求得的點P的軌跡按向量

a

=（

2

3

，3）平移得軌跡C，從軌跡C外一點R（x₀，y₀）向軌跡C作切線RT，T是切點，且RT=RO（O為坐標(biāo)原點），求RT的最小值．

Answer 1

考點：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：綜合題,直線與圓

分析：（1）設(shè)P點坐標(biāo)（x，y），B點坐標(biāo)（

3

2

cosα，

3

2

sinα），利用P分

AB

之比為2：1，確定坐標(biāo)之間的故選，即可得到點P的軌跡方程；
（2）QN的最小時，MQ最小，此時MQ⊥直線x=3；
（3）按照向量

a

=（

2

3

，3）平移后，軌跡C還是一個圓，方程為C：（x-2）²+（y-3）²=1．設(shè)出R點坐標(biāo)，求得R的軌跡，再把RT的值轉(zhuǎn)化為RO的值，由點到直線的距離公式求解原點到直線的距離，可得RT|的最小值．

解答： 解：設(shè)P點坐標(biāo)（x，y），B點坐標(biāo)（

3

2

cosα，

3

2

sinα），則
∵P分

AB

之比為2：1，
∴（x-4，y）=2（

3

2

cosα-x，

3

2

sinα-y），
即3x-4=3cosα，3y=3sinα，
故點P的軌跡方程為（3x-4）²+9y²=9，即：（x-

4

3

）²+y²=1；
（2）QN的最小時，MQ最小，此時MQ⊥直線x=3，MQ=3，∴QN的最小值為

32- 9 4

=

3 3

2

；
（3）按照向量

a

=（

2

3

，3）平移后，軌跡C還是一個圓，方程為C：（x-2）²+（y-3）²=1．
設(shè)R（x₀，y₀），則|RT|²=（x-2）²+（y-3）²-1²=x²+y²-4x-6y+12，
|RO|²=x²+y²．
由RT=RO，得x²+y²-4x-6y+12=x²+y²，
整理得：2x+3y-6=0．
∴點P的軌跡方程為：2x+3y-6=0；
求RT的最小值，就是求RO的最小值．
在直線2x+3y-6=0上取一點到原點距離最小，
由“垂線段最短”得，直線OR垂直直線2x+3y-6=0，
由點到直線的距離公式得：RT的最小值為：

|-6|

22+32

=

6 13

13

．

點評：本題考查了軌跡方程的求法，考查了直線與圓的位置關(guān)系，考查了點到直線的距離公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．