Question

在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是邊長為

2

的正方形，AA₁=

3

，E、F分別是AB₁、BC₁的中點，求證：平面D₁EF⊥平面AB₁C．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：欲證平面D₁EF⊥平面AB₁C，根據(jù)面面垂直的判定定理可知在平面AB₁C內(nèi)一直線與平面D₁EF垂直，而B₁O⊥EF，B₁O⊥D₁O₁根據(jù)線面垂直的判定定理可知B₁O⊥平面D₁EF，滿足定理條件．

解答： 證明：如圖，∵E、F分別是AB₁、CB₁的中點，
∴EF∥AC．
∵AB₁=CB₁，
O為AC的中點，
∴B₁O⊥AC．
故B₁O⊥EF．
在Rt△B₁BO中，∵BB₁=

3

，BO=1，
∴∠BB₁O=30°．從而∠OB₁D₁=60°，又B₁D₁=2，B₁O₁=

1

2

OB₁=1（O₁為B₁O與EF的交點）．
∴△D₁B₁O₁是直角三角形，即B₁O⊥D₁O₁．
∴B₁O⊥平面D₁EF．又B₁O?平面ACB₁，
∴平面D₁EF⊥平面AB₁C．

點評：本小題主要考查平面與平面垂直的判定，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于基本知識的考查．