Question

將直徑為d的圓木鋸成長方體橫梁，橫截面為矩形，橫梁的強(qiáng)度同它的斷面高的平方與寬x的積成正比（強(qiáng)度系數(shù)為k，k＞0）．要將直徑為d的圓木鋸成強(qiáng)度最大的橫梁，斷面的寬x應(yīng)是

3 d

3

．

Answer 1

分析：據(jù)題意橫梁的強(qiáng)度同它的斷面高的平方與寬x的積成正比（強(qiáng)度系數(shù)為k，k＞0）建立起強(qiáng)度函數(shù)，求出函數(shù)的定義域，再利用求導(dǎo)的方法求出函數(shù)取到最大值時的橫斷面的值

解答：解：設(shè)斷面高為h，則h²=d²-x²．
橫梁的強(qiáng)度函數(shù)f（x）=k•xh²，
所以f（x）=kx•（d²-x²）0＜x＜d．
當(dāng)x∈（0，d）時，令f′（x）=k（d²-3x²）=0．
解得x=±

3

3

d（舍負(fù)）．
當(dāng)0＜x＜

3

3

d時，f′（x）＞0；

3

3

d＜x＜d時，f′（x）＜0
因此，函數(shù)f（x）在定義域（0，d）內(nèi)只有一個極大值點(diǎn)x=

3

3

d
所以f（x）在x=

3

3

d處取最大值，
橫梁強(qiáng)度的最大值即當(dāng)斷面的寬為

3

3

d時，橫梁的強(qiáng)度最大
故答案為：

3

3

d

點(diǎn)評：考查據(jù)實(shí)際意義建立相關(guān)的函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)的特征選擇求導(dǎo)的方法來求最值