Question

如圖，AE⊥平面ABC，AE∥BD，AB＝BC＝CA＝BD＝2AE，F(xiàn)為CD中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：EF⊥平面BCD；

（Ⅱ）求二面角C－DE－A的大�。�

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）取BC中點(diǎn)G點(diǎn)，連接AG，F(xiàn)G，F(xiàn)，G分別為DC，BC中點(diǎn)，

得到平面ABC⊥平面BCD，

G為 BC中點(diǎn)，且AC=AB，推出AG⊥BC，從而AG⊥平面BCD， EF⊥平面BCD．

（Ⅱ）二面角C－DE－A的大小為 

【解析】

試題分析：（Ⅰ）取BC中點(diǎn)G點(diǎn)，連接AG，F(xiàn)G，

∵F，G分別為DC，BC中點(diǎn)，

∴FG∥BD且FG＝BD，又AE∥BD且AE＝BD，

∴AE∥FG且AE＝FG，∴四邊形EFGA為平行四邊形，

∴EF∥AG，∵AE⊥平面ABC，AE∥BD，

BD⊥平面ABC，又∵DB平面BCD，

平面ABC⊥平面BCD，∵G為 BC中點(diǎn)，且AC=AB，

∴AG⊥BC，∴AG⊥平面BCD，

∴EF⊥平面BCD．              6分

（Ⅱ）取AB的中點(diǎn)O和DE的中點(diǎn)H，分別以、、所在直線為x、y、z軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，．

設(shè)面CDE的法向量，則

取，         8分

取面ABDE的法向量，          10分

由，

故二面角C－DE－A的大小為．                12分

考點(diǎn)：本題主要考查立體幾何中的垂直關(guān)系、角的計(jì)算。

點(diǎn)評(píng)：典型題，立體幾何題，是高考必考內(nèi)容，往往涉及垂直關(guān)系、平行關(guān)系、角、距離、體積的計(jì)算。在計(jì)算問(wèn)題中，有“幾何法”和“向量法”。利用幾何法，要遵循“一作、二證、三計(jì)算”的步驟，利用空間向量，省去繁瑣的證明，也是解決立體幾何問(wèn)題的一個(gè)基本思路。注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化與化歸思想，將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化成平面問(wèn)題。