Question

某同學(xué)在研究函數(shù)f（x）=

x

1+|x|

（x∈R）時(shí)，分別給出下面幾個(gè)結(jié)論：
①f（-x）+f（x）=0在x∈R時(shí)恒成立；
②函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋?1，1）；
③若x₁≠x₂，則一定有f（x₁）≠f（x₂）；
④函數(shù)g（x）=f（x）-x在R上有三個(gè)零點(diǎn)．
其中正確結(jié)論的序號(hào)有

 

．

Answer 1

分析：由奇偶性的定義來(lái)判斷①，由分類(lèi)討論結(jié)合反比例函數(shù)的單調(diào)性求解②；由②結(jié)合①對(duì)稱(chēng)區(qū)間上的單調(diào)性相同說(shuō)明③正確；由數(shù)形結(jié)合來(lái)說(shuō)明④不正確．

解答：解：①f(-x)=

-x

1+|x|

=-f(x)∴正確
②當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=

1

1+ 1 x

∈（0，1）
由①知當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）∈（-1，0）
x=0時(shí)，f（x）=0
∴f（x）∈（-1，1）正確；
③則當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=

1

1+ 1 x

反比例函數(shù)的單調(diào)性可知，f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)
再由①知f（x）在（-∞，0）上也是增函數(shù)，正確
④由③知f（x）的圖象與y=x只有兩個(gè)交點(diǎn)．不正確．
故答案為：①②③

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的定義域，單調(diào)性，奇偶性，值域，考查全面，方法靈活，這四個(gè)問(wèn)題在研究時(shí)往往是同時(shí)考慮的．