Question

已知定義域為R的函數(shù)f（x）=

-2x+1

2x+1+a

是奇函數(shù)．
（1）求a的值；
（2）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并求其值域；
（3）解關(guān)于t的不等式f（t²-2t）+f（2t²-1）＜0．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應用,不等式的解法及應用

分析：（1）用特值法求出a=2，并驗證；
（2）化簡f(x)=

-2x+1

2x+1+2

=-

1

2

+

1

2x+1

，觀察可知f（x）在（-∞，+∞）上為減函數(shù)，從而求函數(shù)的值域，
（3）由奇偶性化f（t²-2t）+f（2t²-1）＜0為f（t²-2t）＜f（-2t²+1），從而利用函數(shù)的單調(diào)性解答．

解答： 解：（1）因為f（x）是奇函數(shù)，
f(1)=-f(-1)知

-2+1

4+a

=-

- 1 2 +1

1+a

，
解得a=2．
經(jīng)檢驗，當a=2時，函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．
（2）由（1）知f(x)=

-2x+1

2x+1+2

=-

1

2

+

1

2x+1

．
由上式易知f（x）在（-∞，+∞）上為減函數(shù)．
由于函數(shù)f（x）的定義域為R，
所以2^x＞0，2^x+1＞1，
因此0＜

1

2x+1

＜1，
所以-

1

2

＜-

1

2

+

1

2x+1

＜

1

2

，
即函數(shù)f（x）的值域為(-

1

2

，

1

2

)．
（3）因f（x）是奇函數(shù)，
從而f（t²-2t）+f（2t²-1）＜0可化為
f（t²-2t）＜-f（2t²-1）=f（-2t²+1）．
因f（x）是減函數(shù)，由上式推得
t²-2t＞-2t²+1，
即3t²-2t-1＞0，
解不等式可得{t|t＞1，或t＜-

1

3

}．

點評：本題考查了函數(shù)的奇偶性的應用及函數(shù)的單調(diào)性的判斷與應用，同時考查了函數(shù)的值域的求法，屬于中檔題．