Question

是否存在銳角α，β，使得下列兩式：①α+2β=

2π

3

；②tan

α

2

?tanβ=2-

3

同時成立？若存在，求出α和β；若不存在，說明理由？

Answer 1

分析：由條件可得 tan

α

2

=1，tanβ=2-

3

，或tan

α

2

=2-

3

，tanβ=1，根據(jù)α，β為銳角，求出α，β 的值．

解答：解：由α+2β=

2π

3

得：

α

2

+β=

π

3

，tan(

α

2

+β)=

tan α 2 +tanβ

1-tan α 2 tanβ

=

3

．
將②式代入得：tan

α

2

+tanβ=3-

3

，與②式聯(lián)立，解得：tan

α

2

=1，tanβ=2-

3

，
或tan

α

2

=2-

3

，tanβ=1．
當tan

α

2

=1時，因為0＜

α

2

＜

π

4

，這樣的角α不存在，故只能是tan

α

2

=2-

3

，tanβ=1，
因為α，β均為銳角，所以α=

π

6

，β=

π

4

．
綜上，存在銳角α=

π

6

，β=

π

4

，使得①，②同時成立．

點評：本題考查兩角和的正切公式，同角三角函數(shù)的基本關系，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想，得到tan

α

2

=1，tanβ=2-

3

，或tan

α

2

=2-

3

，tanβ=1，是解題的關鍵．