Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的兩個焦點分別為F₁（-c，0），F₂（c，0）（c＞0），過點E（

a2

c

，0）的直線與橢圓相交于點A，B兩點，且F₁∥F₂B，|F₁A|=2|F₂B|
（Ⅰ）求橢圓的離心率
（Ⅱ）直線AB的斜率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由AF₁∥F₂B，|F₁A|=2|F₂B|，得

a2 c -c

a2 c +c

=

1

2

，從而a²=3c²，故可求離心率；（Ⅱ）先設直線AB的方程為y=k(x-

a2

c

)即y=k（x-3c），再與橢圓的方程2x²+3y²=6c²聯立，又由題設知，點B為線段AE的中點，從而可求直線的斜率．

解答：解：（Ⅰ）由AF₁∥F₂B，|F₁A|=2|F₂B|，得

a2 c -c

a2 c +c

=

1

2

，從而a²=3c²，故離心率e=

3

3

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b²=a²-c²=2c²，所以橢圓的方程可以寫為2x²+3y²=6c²
設直線AB的方程為y=k(x-

a2

c

)即y=k（x-3c）
由已知設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則它們的坐標滿足方程組

y=k(x-3c) 2x2+3y2=6c2

 
消去y整理，得（2+3k²）x²-18k²cx+27k²c²-6c²=0
依題意，△＞0-

3

3

＜k＜

3

3

，而x1+x2=

18k2

2+3k2

，x1x2=

27k2c2-6c2

2+3k2

，
由題設知，點B為線段AE的中點，所以x₁+3c=2x₂
聯立三式，解得x1=

9k2c-2c

2+3k2

，x2=

9k2c+2c

2+3k2

，，將結果代入韋達定理中解得k=±

2

3

點評：本題主要考查橢圓的離心率及直線的斜率，關鍵是找出幾何量的關系，涉及直線與曲線的位置關系，通常是聯立方程，借助于根與系數的關系求解，應注意判別式的驗證．