Question

如圖，已知過點(diǎn)A（1，2）的拋物線C：y²=ax與過點(diǎn)T（3，-2）的動(dòng)直線l相交于P、Q兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求直線AP與直線AQ的斜率的乘積；
（Ⅱ）若∠APQ=∠AQP，求證：△APQ的周長為定值．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）設(shè)直線l的方程為x=m（y+2）+3代入拋物線方程，利用韋達(dá)定理，結(jié)合斜率公式，即可求直線AP與直線AQ的斜率的乘積；
（Ⅱ）求出PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)，可得

2m-2

2m2+2m+3-1

=-m，即m³+m²+2m-1=0，構(gòu)造函數(shù)，利用方程m³+m²+2m-1=0有唯一實(shí)根，即可證明結(jié)論．

解答： （I）解：由拋物線C：y²=ax過點(diǎn)A（1，2）知a=4…（1分）
設(shè)直線l的方程為x=m（y+2）+3
代入拋物線方程得y²-4my-8m-12=0       …（2分）
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
則y₁+y₂=4m，y₁y₂=-8m-12                …（3分）
∴k_APk_AQ=

16

y1y2+2(y1+y2)+4

=-2 …（6分）
（II）證明：PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為（

x1+x2

2

，

y1+y2

2

），即（

y12 4 + y22 4

2

，

y1+y2

2

），
∴PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為（2m²+2m+3，2m），…（8分）
由已知得

2m-2

2m2+2m+3-1

=-m，即m³+m²+2m-1=0．…（10分）
設(shè)f（m）=m³+m²+2m-1，則f′（m）=3m²+2m+2＞0，
∴f（m）在R上是增函數(shù)，又f（0）=-1，f′（1）=3，故f（m）在（0，1）內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，
函數(shù)f（m）有且只有一個(gè)零點(diǎn)，即方程m³+m²+2m-1=0有唯一實(shí)根．
∴滿足條件的三角形唯一確定，從而△APQ的周長為定值．…（14分）

點(diǎn)評：本題考查拋物線方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．