【題目】在△ABC 內(nèi)部取n 個點(diǎn)， 將△ABC剖分為若干個小三角形(每兩個小三角形或者有一個公共頂點(diǎn)，或者有一條公共邊，或者完全沒有公共點(diǎn)，如圖所示).現(xiàn)將點(diǎn)A 染紅色， 點(diǎn)B 染藍(lán)色，點(diǎn)C 染黑色，其余n 個點(diǎn)的每個點(diǎn)也任意染上紅、藍(lán)、黑三色之一.我們稱三個頂點(diǎn)的顏色恰為紅、藍(lán)、黑的小三角形為“特征三角形”.證明：至少有一個小三角形是特征三角形.

【答案】見解析

【解析】

設(shè)在△ABC 內(nèi)部的紅藍(lán)邊(即一端點(diǎn)為紅點(diǎn), 一端點(diǎn)為藍(lán)點(diǎn)的邊)有條, 又設(shè)三個頂點(diǎn)顏色不同(紅、藍(lán)、黑各一個)的特征三角形共有個, 三頂點(diǎn)分別為紅、紅、藍(lán)或藍(lán)、藍(lán)、紅的小三角形共有個, 其余的小三角形(如頂點(diǎn)顏色為紅、紅、黑;紅、紅、紅;藍(lán)、藍(lán)、黑;藍(lán)、藍(lán)、藍(lán);黑、黑、黑;黑、黑、紅;黑、黑、藍(lán)等)共個.

我們統(tǒng)計每個小三角形紅藍(lán)邊的條數(shù), 再把它們加起來, 總和數(shù)為.

從另一角度看, 由于每一條在大三角形的內(nèi)部的紅藍(lán)邊都為兩個小三角形的公共邊, 即被統(tǒng)計兩次, 而大△ABC 的一條紅藍(lán)邊只屬于一個小三角形, 只計數(shù)一次.所以, 總和數(shù)為.因此，.

從而，是個奇數(shù).

因此, 三個頂點(diǎn)的顏色全不相同的特征三角形個數(shù)p 是奇數(shù), p 最少是1.也就是說至少有一個小三角形是特征三角形.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知集合.對于的一個子集,若存在不大于的正整數(shù),使得對于中的任意一對元素,都有,則稱具有性質(zhì).

（Ⅰ）當(dāng)時,試判斷集合和是否具有性質(zhì)?并說明理由.

（Ⅱ）若時，

①若集合具有性質(zhì),那么集合是否一定具有性質(zhì)?并說明理由;

②若集合具有性質(zhì),求集合中元素個數(shù)的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】(1)從區(qū)間內(nèi)任意選取一個實數(shù)，求的概率；

(2)從區(qū)間內(nèi)任意選取一個整數(shù)，求的概率

【答案】(1) .(2) .

【解析】試題(1)根據(jù)幾何概型概率公式，分別求出滿足不等式的的區(qū)間長度與區(qū)間總長度，求比值即可；(2) 區(qū)間內(nèi)共有個數(shù)，滿足的整數(shù)為共有 個，根據(jù)古典概型概率公式可得結(jié)果.

試題解析： (1)∵，∴，

故由幾何概型可知，所求概率為.

(2)∵，∴，

則在區(qū)間內(nèi)滿足的整數(shù)為5，6，7，8，9，共有5個，

故由古典概型可知，所求概率為.

【方法點(diǎn)睛】本題題主要考查古典概型及“區(qū)間型”的幾何概型，屬于中檔題. 解決幾何概型問題常見類型有：長度型、角度型、面積型、體積型，區(qū)間型，求與區(qū)間有關(guān)的幾何概型問題關(guān)鍵是計算問題題的總區(qū)間 以及事件的區(qū)間；幾何概型問題還有以下幾點(diǎn)容易造成失分，在備考時要高度關(guān)注：（1）不能正確判斷事件是古典概型還是幾何概型導(dǎo)致錯誤；（2）基本裏件對應(yīng)的區(qū)域測度把握不準(zhǔn)導(dǎo)致錯誤 ；（3）利用幾何概型的概率公式時 , 忽視驗證事件是否等可能性導(dǎo)致錯誤.

【題型】解答題
【結(jié)束】
18

【題目】已知函數(shù)f（x）=ax（a＞0且a≠1）的圖象過的（-2，16）．

（1）求函數(shù)f（x）的解析式；

（2）若f（2m+5）＜f（3m+3），求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知△ABC的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（5，1），AB邊上的中線CM所在直線方程為2x-y-5=0，AC邊上的高BH所在的直線方程為x-2y-5=0．

（Ⅰ）求頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（Ⅱ）求直線AB的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)， .

（1）求證：對，函數(shù)與存在相同的增區(qū)間；

（2）若對任意的， ，都有成立，求正整數(shù)的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知直線y=k（x﹣m）與拋物線y2=2px（p＞0）交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA⊥OB，OD⊥AB于D，點(diǎn)D在曲線x2+y2﹣4x=0上，則p= ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn ， a1= ，公比q＞0，S1+a1 ， S3+a3 ， S2+a2成等差數(shù)列．
（1）求an；
（2）設(shè)bn= ，求數(shù)列{cn}的前n項和Tn ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】若函數(shù)y=f（x）滿足：對y=f（x）圖象上任意點(diǎn)P（x1 ， f（x1）），總存在點(diǎn)P′（x2 ， f（x2））也在y=f（x）圖象上，使得x1x2+f（x1）f（x2）=0成立，稱函數(shù)y=f（x）是“特殊對點(diǎn)函數(shù)”，給出下列五個函數(shù)：
①y=x﹣1；
②y=log2x；
③y=sinx+1；
④y=ex﹣2；
⑤y= ．
其中是“特殊對點(diǎn)函數(shù)”的序號是（寫出所有正確的序號）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，等邊三角形的中線與中位線相交于，已知是繞旋轉(zhuǎn)過程中的一個圖形，下列命題中，錯誤的是

A. 恒有⊥

B. 異面直線與不可能垂直

C. 恒有平面⊥平面

D. 動點(diǎn)在平面上的射影在線段上

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