Question

【題目】已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，點在線段上.

（Ⅰ）若為的中點，求證：平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）證明：存在點，使得平面，并求的值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）詳見解析.

【解析】

（Ⅰ）設(shè)，根據(jù)平面幾何知識得為平行四邊形，即得，再根據(jù)線面平行判定定理得結(jié)果，（Ⅱ）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點坐標(biāo)，利用方程組解得平面的一個法向量，根據(jù)向量數(shù)量積得法向量夾角，最后根據(jù)二面角與向量夾角關(guān)系得結(jié)果，（Ⅲ）設(shè)，根據(jù)題意得與平面法向量，列式可得M坐標(biāo)，代入即得的值.

（Ⅰ）設(shè)，連結(jié)，

因為正方形，所以為中點

又矩形,為的中點

所以且

所以為平行四邊形

所以

又平面，平面

所以平面

（Ⅱ）以為原點，分別以為軸建立坐標(biāo)系

則

設(shè)平面的法向量為，

由得

則

易知平面的法向量

由圖可知二面角為銳角

所以二面角的余弦值為

（Ⅲ）設(shè)，則

若平面，則，即

所以解得所以

所以