Question

已知函數(shù)f(x)=

2x+1

2x-1

．
（1）證明：函數(shù)f（x）在區(qū)間（

1

2

，+∞）上單調(diào)遞減．
（2）若對(duì)于區(qū)間[1，3]上每一x值，不等式f（x）＞|x-2|+m恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)單調(diào)性的定義，設(shè)

1

2

＜x₁＜x₂，作差f（x₁）-f（x₂），進(jìn)行化簡(jiǎn)，判斷其符號(hào)，從而證得結(jié)論；
（2）利用含有絕對(duì)值的不等式的解法將不等式f（x）＞|x-2|+m恒成立，轉(zhuǎn)化為m＜f（x）+x-2對(duì)x∈[1，3]恒成立且m＜f（x）-x+2對(duì)x∈[1，3]恒成立，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，最后求兩種情況的交集，即可求得m的取值范圍．

解答：解：（1）f(x)=

2x+1

2x-1

=1+

1

x- 1 2

，
設(shè)

1

2

＜x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=（1+

1

x1- 1 2

）-（1+

1

x2- 1 2

）=

x2-x1

(x1- 1 2 )(x2- 1 2 )

，
∵

1

2

＜x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞0，x₁-

1

2

＞0，x₂-

1

2

＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（

1

2

，+∞）上單調(diào)遞減；
（2）∵對(duì)于區(qū)間[1，3]上每一x值，不等式f（x）＞|x-2|+m恒成立，
∴|x-2|＜f（x）+m，即-f（x）+m+2＜x＜f（x）+2-m對(duì)x∈[1，3]恒成立，
①-f（x）+m+2＜x對(duì)x∈[1，3]恒成立，即m＜f（x）+x-2對(duì)x∈[1，3]恒成立，
∴m＜[f（x）+x-2]_min，
令g（x）=f（x）+x-2=x+

1

x- 1 2

-1=x-

1

2

+

1

x- 1 2

-

1

2

≥2

(x- 1 2 ) 1 x- 1 2

-

1

2

=

3

2

，
當(dāng)且僅當(dāng)x-

1

2

=

1

x- 1 2

，即x=

3

2

時(shí)取等號(hào)，
∴m＜

3

2

；
②x＜f（x）+2-m對(duì)x∈[1，3]恒成立，即m＜f（x）-x+2對(duì)x∈[1，3]恒成立，
∴m＜[f（x）-x+2]_min，
由（1）可知y=f（x）在[1，3]上單調(diào)遞減，y=-x+2在[1，3]上單調(diào)遞減，
∴h（x）=f（x）-x+2=

1

x- 1 2

-x+3在[1，3]上單調(diào)遞減，
∴h（x）_min=h（3）=

1

3- 1 2

-3+3=

2

5

，
∴m＜

2

5

．
綜合①②，可得m＜

2

5

，
故實(shí)數(shù)m的取值范圍為m＜

2

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)單調(diào)性的定義，函數(shù)的恒成立問(wèn)題．對(duì)于函數(shù)單調(diào)性的證明一般選用定義法，要注意證明過(guò)程的步驟，特別是作差以后要進(jìn)行化簡(jiǎn)，直到能直接判斷符號(hào)為止．對(duì)于恒成立問(wèn)題，一般選用參變量分離法轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值．屬于中檔題．