Question

已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)（）時(shí)，.

（1）求在[0，1]內(nèi)的值域；

（2）為何值時(shí)，不等式在[1，4]上恒成立.

 

Answer 1

【答案】

(1)值域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013011314183068338722/SYS201301131419207146887392_DA.files/image001.png">；(2)當(dāng)時(shí)，不等式在[1，4]上恒成立.

【解析】

試題分析： （1）根據(jù)題意得到和是函數(shù)的零點(diǎn)且，然后得到解析式。

（2）令

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013011314183068338722/SYS201301131419207146887392_DA.files/image009.png">上單調(diào)遞減，要使在[1，4]上恒成立，只要求解g(x)的最大值即可。

由題意得和是函數(shù)的零點(diǎn)且，則（此處也可用韋達(dá)定理解）解得：

               ------------6分

(1)由圖像知，函數(shù)在內(nèi)為單調(diào)遞減，所以：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.

在內(nèi)的值域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013011314183068338722/SYS201301131419207146887392_DA.files/image001.png">       --------------- 8分

(2)令

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013011314183068338722/SYS201301131419207146887392_DA.files/image009.png">上單調(diào)遞減，要使在[1，4]上恒成立，

則需要，即

解得當(dāng)時(shí)，不等式在[1，4]上恒成立.    ------12分

考點(diǎn)：本題主要考查了二次函數(shù)的圖像與x軸的位置關(guān)系，以及二次函數(shù)的 最值問(wèn)題的運(yùn)用。

點(diǎn)評(píng)：解決該試題的關(guān)鍵是根據(jù)題意得到和是函數(shù)的零點(diǎn)且，進(jìn)而求解得到解析式，進(jìn)一步研究函數(shù)在給定區(qū)間的最值。