Question

已知∠AOB=60°，∠AOB內(nèi)一點P到兩邊OA、OB的距離之比為1：2，則sin∠AOP=

21

14

．

Answer 1

分析：由題意畫出圖形，利用∠AOB內(nèi)一點P到兩邊OA、OB的距離之比為1：2，推出α，β的正弦函數(shù)關(guān)系，利用兩角和與差的三角函數(shù)以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式求解sin∠AOP的大�。�

解答：解：如圖：令∠AOP=α，∠BOP=β，則α+β=

π

3

，
∵∠AOB內(nèi)一點P到兩邊OA、OB的距離之比為1：2，
∴2•

AP

PO

=

BP

PO

，即sinβ=2sinα，
∵α+β=

π

3

，
∴sinβ=sin（

π

3

-α），
∴2sinα=sin（

π

3

-α）=

3

2

cosα-

1

2

sinα，
∴cosα=

5 3

3

sinα．代入sin²α+cos²α=1，解得sin²α=

3

28

，又α是銳角，
∴sinα=

21

14

∴sin∠AOP=

21

14

故答案為：

21

14

．

點評：本題考查兩角和與差的三角函數(shù)，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想與計算能力．