Question

已知函數(shù)f（x）=x-1+

a

ex

（a∈R，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
（1）當(dāng)a≠0時(shí)，直線l：y=kx-1是曲線y=f（x）的切線，求k關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式．
（2）求函數(shù)=f（x）的極值；
（3）當(dāng)a=1．時(shí)，若直線l：y=kx-1與曲線y=f（x）沒有公共點(diǎn)，求k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)數(shù)，利用直線l：y=kx-1是曲線y=f（x）的切線，可求k關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式．
（2）分類討論，確定導(dǎo)數(shù)為0處的左右附近導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，即可求函數(shù)=f（x）的極值；
（3）直線l：y=kx-1與曲線y=f（x）沒有公共點(diǎn)，等價(jià)于關(guān)于x的方程kx-1=x-1+

1

ex

在R上沒有實(shí)數(shù)解，即關(guān)于x的方程：(k-1)x=

1

ex

（*）在R上沒有實(shí)數(shù)解．

解答： 解：（1）由f(x)=x-1+

a

ex

，得f′(x)=1-

a

ex

，
設(shè)切點(diǎn)為（m，n），則

1- a em =k n=km-1 n=m-1+ a em

，
解得k=1-ae．    …（4分）
（2）f′(x)=1-

a

ex

，
①當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＞0，f（x）為（-∞，+∞）上的增函數(shù)，所以函數(shù)f（x）無極值．
②當(dāng)a＞0時(shí)，令f′（x）=0，得e^x=a，x=lna．
x∈（-∞，lna），f'（x）＜0；x∈（lna，+∞），f'（x）＞0．
所以f（x）在（-∞，lna）上單調(diào)遞減，在（lna，+∞）上單調(diào)遞增，
故f（x）在x=lna處取得極小值，且極小值為f（lna）=lna，無極大值．
綜上，當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f（x）無極值；
當(dāng)a＞0，f（x）在x=lna處取得極小值lna，無極大值．       …（8分）
（3）當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=x-1+

1

ex

．
直線l：y=kx-1與曲線y=f（x）沒有公共點(diǎn)，等價(jià)于關(guān)于x的方程kx-1=x-1+

1

ex

在R上沒有實(shí)數(shù)解，即關(guān)于x的方程：(k-1)x=

1

ex

（*）在R上沒有實(shí)數(shù)解．
①當(dāng)k=1時(shí)，方程（*）可化為

1

ex

=0，在R上沒有實(shí)數(shù)解．…（10分）
②當(dāng)k≠1時(shí)，方程（*）化為

1

k-1

=xex．
令g（x）=xe^x，則有g(shù)'（x）=（1+x）e^x．
令g'（x）=0，得x=-1，
當(dāng)x=-1時(shí)，g(x)min=-

1

e

，同時(shí)當(dāng)x趨于+∞時(shí)，g（x）趨于+∞，
從而g（x）的取值范圍為[-

1

e

，+∞)．
所以當(dāng)

1

k-1

∈(-∞，-

1

e

)時(shí)，方程（*）無實(shí)數(shù)解，
解得k的取值范圍是（1-e，1）．                           …（12分）
綜上，解得k的取值范圍是（1-e，1]…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題是難題，考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)在解決切線方程，函數(shù)的極值與最值的應(yīng)用，注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，是難度較大的題目，�？碱}型．