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設(shè)函數(shù)f(x)=2lnx-x2
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)設(shè)a∈R,討論關(guān)于x的方程f(x)+2x2-5x-a=0的解的個數(shù).
分析:(1)求出函數(shù)的定義域,求出導(dǎo)函數(shù),令導(dǎo)函數(shù)大于0,求出x的范圍即為單調(diào)遞增區(qū)間.
(2)將方程中的a分離出來,構(gòu)造新函數(shù)g(x),求出g′(x),列出x,g′(x),g(x)d的變化情況表,求出g(x)的極值,對a討論,判斷出方程解的個數(shù).
解答:解:(1)函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞).
∵f′(x)=2(
1
x
-x)=
2(1+x)(1-x)
x

∵x>0,則使f′(x)>0的x的取值范圍為(0,1),
故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1).
(2)∵f(x)=2lnx-x2
∴f(x)+2x2-5x-a=0?a=2lnx+x2-5x.
令g(x)=2lnx+x2-5x,
∴g′(x)=
2
x
+2x-5=
(2x-1)(x-2)
x
.∵x>0精英家教網(wǎng)
∴g(x)在(0,
1
2
),(2,+∞)上單調(diào)遞增,在(
1
2
,2)上單調(diào)遞減.
∵g(
1
2
)=-2ln2-
9
4
,g(2)=2ln2-6,
∴x∈(0,
1
2
)時,g(x)∈(-∞,-2ln2-
9
4
);
x∈(
1
2
,2)時,g(x)∈(2ln2-6,-2ln2-
9
4
);x∈(2,+∞)時,g(x)∈(2ln2-6,+∞).
∴當a∈(-2ln2-
9
4
,+∞)∪(-∞,2ln2-6)時,方程有一解;
當a=-2ln2-
9
4
或a=2ln2-6時,方程有兩解;
當a∈(2ln2-6,-2ln2-
9
4
)時,方程有三解.
點評:求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,注意要先求出函數(shù)的定義域,因為單調(diào)區(qū)間是定義域的子集;判斷方程的根的個數(shù)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的極值去解.
練習(xí)冊系列答案
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設(shè)函數(shù)f(x)=x2-2lnx,
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注:e為自然對數(shù)的底數(shù).

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(1)若p>0,求函數(shù)f(x)的最小值;
(2)若函數(shù)g(x)=f(x)-
px
在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù),求p的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

設(shè)函數(shù)f(x)=2lnx-x2
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)設(shè)a∈R,討論關(guān)于x的方程f(x)+2x2-5x-a=0的解的個數(shù).

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