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△ABC中,內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且
2
sin2
C
2
+cos
C
2
=
2

(1)求角C的大��;
(2)若a,b,c成等比數列,求sinA的值.
分析:(1)把已知的式子利用同角三角函數間的基本關系化為關于cos
C
2
的方程,因式分解即可得到cos
C
2
的值,然后根據
C
2
的范圍及特殊角的三角函數值即可求出C的度數;
(2)由a,b,c成等比數列得到b2=ac,由(1)得到此三角形為直角三角形,根據勾股定理列出三邊的關系,兩者聯(lián)立消去b后得到關于a和c的方程,兩邊同除以c2,根據正弦函數的定義得到關于sinA的方程,求出方程的解即可得到sinA的值.
解答:解:(1)由
2
sin2
C
2
+cos
C
2
=
2
,
2
(1-cos2
C
2
)+cos
C
2
=
2

整理得cos
C
2
(
2
cos
C
2
-1)=0
,
因為在△ABC中,0<C<π,所以0<
C
2
π
2

所以cos
C
2
=
2
2
(舍去cos
C
2
=0),
從而
C
2
=
π
4
,即C=
π
2

(2)解:因為a,b,c成等比數列,所以b2=ac,
由(1)知,△ABC是以角C為直角的直角三角形,
所以c2=a2+b2,將b2=ac代入
整理得a2+ac-c2=0,
上式兩邊同除以c2,得
a2
c2
+
a
c
-1=0
,
因為sinA=
a
c
,所以sin2A+sinA-1=0,
注意到0<A<
π
2

解得sinA=
5
-1
2
(舍去sinA=
-1-
5
2
).
點評:此題考查學生靈活運用同角三角函數間的基本關系及特殊角的三角函數值化簡求值,掌握等比數列的性質,是一道綜合題,學生做題時應注意角度的范圍,搞清題中的cos
C
2
=0與sinA=
-1-
5
2
舍去的原因.
練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:

在△ABC中,內角A,B,C對邊的邊長分別是a,b,c,已知c=2,C=
π
3

(Ⅰ)若△ABC的面積等于
3
,求a,b;
(Ⅱ)若sinC+sin(B-A)=2sin2A,求△ABC的面積.

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科目:高中數學 來源: 題型:

在△ABC中,內角A、B、C對邊的邊長分別是a、b、c,已知c=2,C=
π
3
,△ABC的面積是
3
,求邊長a和b.

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(2011•武昌區(qū)模擬)在△ABC中,內角A、B、C對邊長分別是a,b,c,已知c=2,C=
π
3

(I)若△ABC的面積等于
3
,求a,b
;
(II)若sinC+sin(B-A)=2sin2A,求△ABC的面積.

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在△ABC中,內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若a=6,b=4,C=120°,則△ABC的面積是( �。�

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科目:高中數學 來源: 題型:

在△ABC中,內角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,已知C=
π
3

(1)若a=2,b=3,求邊c;
(2)若c=
3
,sinC+sin(B-A)=sin2A,求△ABC的面積.

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