Question

4．函數(shù)f（x）=|x-1|+|x-2a|．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，解不等式f（x）≤3；
（2）若不等式f（x）≥3a²對(duì)任意x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=1時(shí)，原不等式等價(jià)于|x-1|+|x-2|≤3，利用數(shù)軸及絕對(duì)值的幾何意義知0≤x≤3，即可得出結(jié)論；
（2）不等式f（x）≥3a²對(duì)任意x∈R恒成立，即|2a-1|≥3a²，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，原不等式等價(jià)于|x-1|+|x-2|≤3，利用數(shù)軸及絕對(duì)值的幾何意義知0≤x≤3，
即不等式f（x）≤3的解集為[0，3]；…（5分）

（2）∵|x-1|+|x-2a|≥|2a-1|，∴|2a-1|≥3a²，即$\left\{{\begin{array}{l}{a≥\frac{1}{2}}\\{2a-1≥3{a^2}}\end{array}}\right.$或$\left\{{\begin{array}{l}{a＜\frac{1}{2}}\\{1-2a≥3{a^2}}\end{array}}\right.$，解得$-1≤a≤\frac{1}{3}$，
所以a的取值范圍是$[-1，\frac{1}{3}]$．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的解法，考查恒成立問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．