Question

設(shè)二次方程anx2-an+1x+1=0，n∈N₊有兩根α和β，且滿足6α-2αβ+6β=3，a₁=1．
（1）證明：{an-

2

3

}是等比數(shù)列，并求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)cn=n•(an-

2

3

)，n∈N₊，T_n為{c_n}的前n項(xiàng)和，證明：T_n＜2，（n∈N₊）．

Answer 1

分析：（1）6α-2αβ+6β=3，即6•

an+1

an

-2

1

an

=3，可推出an+1=

1

2

an+

1

3

，n∈N₊，由此能證明{an-

2

3

}是等比數(shù)列，并能求出并求{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）由an-

2

3

=(

1

2

)n，知cn=n(

1

2

)n，由此利用錯(cuò)位相減法能證明：T_n＜2，（n∈N₊）．

解答：解：（1）∵二次方程anx2-an+1x+1=0，n∈N₊有兩根α和β，
且滿足6α-2αβ+6β=3，a₁=1．
∴6•

an+1

an

-2

1

an

=3，
∴an+1=

1

2

an+

1

3

，n∈N₊
an+1-

2

3

=

1

2

an+

1

3

-

2

3

=

1

2

(an-

2

3

)，且a1-

2

3

=

1

2

∴{an-

2

3

}是以

1

2

為首項(xiàng)，公比為

1

2

的等比數(shù)列．
∴an-

2

3

=(

1

2

)n，
故an=(

1

2

)n+

2

3

．
（2）∵an-

2

3

=(

1

2

)n，cn=n•(an-

2

3

)，n∈N₊，∴cn=n(

1

2

)n，
T_n=1×

1

2

+2×（

1

2

）²+3×（

1

2

）³+…+n×（

1

2

）ⁿ，

1

2

Tn=1×（

1

2

）²+2×（

1

2

）³+3×（

1

2

）⁴+…+n×（

1

2

）ⁿ⁺¹，
兩式相減，得

1

2

Tn=

1

2

+（

1

2

）²+（

1

2

）³+…+（

1

2

）ⁿ-n×（

1

2

）ⁿ⁺¹
=1-（

1

2

）ⁿ-n•（

1

2

）ⁿ⁺¹，
∴T_n=2-

1

2n-1

-n•

1

2n

＜2．

點(diǎn)評：本題考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的證明，考查不等式的證明．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．