Question

【題目】如圖，在正三棱柱中，AB＝2，由頂點(diǎn)B沿棱柱側(cè)面經(jīng)過棱到頂點(diǎn)C1的最短路線與棱的交點(diǎn)記為M，求：

（Ⅰ）三棱柱的側(cè)面展開圖的對(duì)角線長(zhǎng).

（Ⅱ）該最短路線的長(zhǎng)及的值.

（Ⅲ）平面與平面ABC所成二面角（銳二面角）

Answer 1

【答案】⑴；⑵,；⑶45°

【解析】

（Ⅰ）利用側(cè)面展開法即可求出對(duì)角線長(zhǎng)；

（Ⅱ）利用側(cè)面展開法進(jìn)行求解即可，求出DC1和的值即可；

（Ⅲ）連接DB，C1B，可證∠C1BC就是平面C1MB與平面ABC所成二面角的平面角，在三角形C1BC中求出此角的大小．

（Ⅰ）正三棱柱的側(cè)面展開圖是長(zhǎng)為6， 寬為2的矩形，

其對(duì)角線長(zhǎng)為

（Ⅱ）如圖，將側(cè)面繞棱AA1, , 旋轉(zhuǎn)120°使其與側(cè)面在同一平面上，點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D的位置，連接DC1交AA1于M，則DC1就是由頂點(diǎn)B沿棱柱側(cè)面經(jīng)過棱AA1到頂點(diǎn)C1的最短路線，其長(zhǎng)為

,

故；

（Ⅲ）連接DB，C1B，則DB就是平面C1MB與平面ABC的交線，

在△DCB中，

,

,又平面

由三垂線定理得，

就是平面C1MB與平面ABC所成二面角的平面角（銳角），

∵側(cè)面是正方形，，

故平面C1MB與平面ABC所成的二面角（銳角）為45°