Question

已知{a_n}是公差為d的等差數(shù)列，?n∈N^*，a_n與a_n+1的等差中項(xiàng)為n．
（1）求a₁與d的值；
（2）設(shè)b_n=2ⁿ•a_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的通項(xiàng)公式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）在等差數(shù)列{a_n}中，由a_n與a_n+1的等差中項(xiàng)為n，得a_n+a_n+1=2n，代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式后由系數(shù)相等求得首項(xiàng)和公差；
（2）由（1）求出{a_n}的通項(xiàng)，代入b_n=2ⁿ•a_n，分組后利用錯(cuò)位相減法求和．

解答： 解：（1）在等差數(shù)列{a_n}中，由a_n與a_n+1的等差中項(xiàng)為n，得a_n+a_n+1=2n，
即2a₁+（2n-1）d=2n，（2a₁-d）+2nd=2n，
∴

d=1 2a1-d=0

，解得

a1= 1 2 d=1

．
（2）由（1）知，an=a1+(n-1)d=

1

2

+n-1=n-

1

2

．
b_n=2ⁿ•a_n=(n-

1

2

)•2n．
∴Sn=(1-

1

2

)•21+(2-

1

2

)•22+(3-

1

2

)•23+…+(n-

1

2

)•2n
=(1•21+2•22+…+n•2n)-

1

2

(2+22+…+2n)
=(1•21+2•22+…+n•2n)-

1

2

•

2(1-2n)

1-2

=（1•2¹+2•2²+…+n•2ⁿ）+2ⁿ-1．
令Tn=1•21+2•22+…+n•2n，
則2Tn=1•22+2•23+…+(n-1)•2n+n•2n+1，
兩式作差得：-Tn=2+22+…+2n-n•2n+1=

2(1-2n)

1-2

-n•2n+1=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2．
∴Tn=(n-1)•2n+1+2．
∴Sn=(n-1)•2n+1+2n+1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了數(shù)列的分組求和，訓(xùn)練了錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，是中檔題．