已知an=n∈N*求證：an＜1．
【答案】分析：首先分析題目已知an=求證：an＜1．考慮到可以應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法求解，首先驗(yàn)證當(dāng)n=1時(shí)，不等式成立，再假設(shè)n=k（k≥1）時(shí)，不等式成立，推得當(dāng)n=k+1時(shí)不等式也成立．即得證．
解答：證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，a1=＜1，不等式成立．
（2）假設(shè)n=k（k≥1）時(shí)，不等式成立，即ak=＜1
亦即1+22+32+…+k2＜（k+1）k
當(dāng)n=k+1時(shí)：ak+1=＜==（）k＜1．
所以n=k+1時(shí)，不等式也成立．
由（1）、（2）知，對(duì)一切n∈N*，不等式都成立．
即an＜1得證．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查由數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，數(shù)學(xué)歸納法在高考中屬于重要的考點(diǎn)，應(yīng)用廣泛，需要同學(xué)們靈活掌握．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）是函數(shù)f(x)=
1
2
+log2
x
1-x
的圖象上兩點(diǎn)，且
OM
=
1
2
(
OA
+
OB
)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為
1
2
．
（Ⅰ）求證：點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為定值；
（Ⅱ）定義定義Sn=
n-1
i=1
f(
i
n
)=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)，其中n∈N*且n≥2，求S2011；
（Ⅲ）對(duì)于（Ⅱ）中的Sn，設(shè)an=
1
2Sn+1
(n∈N*)．若對(duì)于任意n∈N*，不等式kan3-3an2+1＞0恒成立，試求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•西城區(qū)一模）已知集合Sn={X|X=(x1，x2，…，xn)，xi∈N*，i=1，2，…，n} (n≥2)．對(duì)于A=（a1，a2，…，an），B=（b1，b2，…，bn）∈Sn，定義
AB
=(b1-a1，b2-a2，…，bn-an)；λ（a1，a2，…，an）=（λa1，λa2，…，λan）（λ∈R）；A與B之間的距離為d(A，B)=
n
i=1
|ai-bi|．
（Ⅰ）當(dāng)n=5時(shí)，設(shè)A=（1，2，1，2，a5），B=（2，4，2，1，3）．若d（A，B）=7，求a5；
（Ⅱ）（ⅰ）證明：若A，B，C∈Sn，且?λ＞0，使
AB
=λ
BC
，則d（A，B）+d（B，C）=d（A，C）；
（ⅱ）設(shè)A，B，C∈Sn，且d（A，B）+d（B，C）=d（A，C）．是否一定?λ＞0，使
AB
=λ
BC
？說(shuō)明理由；
（Ⅲ）記I=（1，1，…，1）∈Sn．若A，B∈Sn，且d（I，A）=d（I，B）=p，求d（A，B）的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知{an}是正數(shù)組成的數(shù)列，a1=1，且點(diǎn)數(shù)學(xué)公式在函數(shù)y=x2+1的圖象上．?dāng)?shù)列{bn}滿(mǎn)足b1=0，bn+1=bn+3an（n∈N*）．
（I）求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；
（II）若cn=anbncosnπ（n∈N*），求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2012-2013學(xué)年湖北省黃岡中學(xué)高三（上）10月月考數(shù)學(xué)試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

已知{an}是正數(shù)組成的數(shù)列，a1=1，且點(diǎn)在函數(shù)y=x2+1的圖象上．?dāng)?shù)列{bn}滿(mǎn)足b1=0，bn+1=bn+3an（n∈N*）．
（I）求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；
（II）若cn=anbncosnπ（n∈N*），求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2010-2011學(xué)年湖北省“鄂南高中、華師一附中、黃岡中學(xué)、黃石二中、荊州中學(xué)、襄樊四中、襄樊五中、孝感高中”八校高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（文科））（解析版） 題型：解答題

已知{an}是正數(shù)組成的數(shù)列，a1=1，且點(diǎn)在函數(shù)y=x2+1的圖象上．?dāng)?shù)列{bn}滿(mǎn)足b1=0，bn+1=bn+3an（n∈N*）．
（I）求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；
（II）若cn=anbncosnπ（n∈N*），求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn．

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