Question

設函數(shù).
（1）若函數(shù)在區(qū)間（-2，0）內(nèi)恰有兩個零點，求a的取值范圍；
（2）當a=1時，求函數(shù)在區(qū)間[t，t+3]上的最大值.

Answer 1

(1)   (2)

試題分析：
(1)根據(jù)題意對函數(shù)求導,獲得導函數(shù)的根與大于0小于0的解集,獲得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點,極值.進而確定函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性,再利用數(shù)形結合的思想與零點存在性定理的知識可以得到函數(shù)在上要有兩個零點,需要滿足即可,解不等式即可求出的取值范圍.
(2)根據(jù)題意,則利用(1)可以得到的單調(diào)性以及極值點,極值.要得到函數(shù)在含參數(shù)的區(qū)間上的最大值,我們需要討論的范圍得到函數(shù)的在區(qū)間上的單調(diào)性進而得到在該區(qū)間上的最大值,為此分三種情況分別為,依次確定單調(diào)性得到最大值即可.
試題解析：
（1）∵
∴，                       （1分）
令，解得                              （2分）
當x變化時，，的變化情況如下表：

		0	—	0
	↗	極大值	↘	極小值	↗

故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-1），（a，+∞）；單調(diào)遞減區(qū)間為（-1，a）；（4分）
因此在區(qū)間（-2，-1）內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間（-1，0）內(nèi)單調(diào)遞減，要使函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有兩個零點，當且僅當，                   （5分）
解得， 所以a的取值范圍是（0，）.                     （6分）
（2）當a=1時，. 由（1）可知，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-1），（1，+∞）；單調(diào)遞減區(qū)間為（-1，1）；.       （7分）
①當t+3<-1，即t<-4時，
因為在區(qū)間[t，t+3]上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間[t，t+3]上的最大值為；      （9分）
②當，即時，
因為在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間[-1，1]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞增，且，所以在區(qū)間上的最大值為.    （10分）
由，即時，有[t，t+3]Ì，-1Î[t，t+3]，所以在上的最大值為；                （11分）
③當t+3>2，即t>-1時，
由②得在區(qū)間上的最大值為.
因為在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增，所以，
故在上的最大值為.          （13分）
綜上所述，當a=1時，
在[t，t+3]上的最大值. （14分）