Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

3

3

，左焦點(diǎn)為F（-1，0），
（1）設(shè)A，B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，過點(diǎn)F且斜率為k的直線L與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，若

AM

•

NB

+

AN

•

MB

=7求直線L的方程；
（2）橢圓C上是否存在三點(diǎn)P，E，G，使得S_△OPE=S_△OPG=S_△OEG=

6

2

？

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：壓軸題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）根據(jù)橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

3

3

，左焦點(diǎn)為F（-1，0），求出a，b，可得橢圓方程，直線MN的方程為y=k（x+1），代入橢圓方程，消去y，整理，利用韋達(dá)定理，結(jié)合向量知識(shí)，利用

AM

•

NB

+

AN

•

MB

=7，即可求直線L的方程；
（2）分類討論，直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=kx+m，由題意知m≠0，將其代入

x2

3

+

y2

2

=1，求出|EG|，點(diǎn)O到直線l的距離，可得面積，從而可得3k²+2=2m²，進(jìn)而可得x₁²+x₂²=3，y₁²+y₂²=2，結(jié)論成立．
同理可得：u²+x₁²=3，u²+x₂²=3，v²+y₁²=2，v²+y₂²=2，解得u²=x₁²=x₂²=

3

2

；v²=y₁²=y₂²=1，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

3

3

，左焦點(diǎn)為F（-1，0），
∴c=1，

c

a

=

3

3

，
∴a=

3

，
∴b=

2

，
∴橢圓的方程為

x2

3

+

y2

2

=1．
設(shè)點(diǎn)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由F（-1，0）得直線MN的方程為y=k（x+1）．
代入橢圓方程，消去y，整理得（2+3k²）x²+6k²x+3k²-6=0，
可得x₁+x₂=-

6k2

2+3k2

，x₁x₂=

3k2-6

2+3k2

．
∵A（-

3

，0），B（

3

，0），
∴

AM

•

NB

+

AN

•

MB

=（x₁+

3

，y₁）•（

3

-x₂，-y₂）+（x₂+

3

，y₂）•（

3

-x₁，-y₁）
=6-2x₁x₂-2y₁y₂
=6-2x₁x₂-2k²（x₁+1）（x₂+1）
=6-（2+2k²）x₁x₂-2k²（x₁+x₂）-2k²
=6+

2k2+12

2+3k2

．
由已知得6+

2k2+12

2+3k2

=7，解得k=±

10

．
故所求直線L的方程為：y=

10

(x+1)和y=-

10

(x+1)；
（2）假設(shè)存在P（u，v），E（x₁，y₁），G（x₂，y₂）滿足S_△OPE=S_△OPG=S_△OEG=

6

2

．
不妨設(shè)E（x₁，y₁），G（x₂，y₂）兩點(diǎn)確定的直線為 l，
（�。┊�(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，E，G兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，∴x₂=x₁，y₂=-y₁，
∵E （x₁，y₁）在橢圓上，
∴

x2

3

+

y2

2

=1．①
∵S_△OEG=

6

2

，
∴|x₁|•|y₁|=

6

2

，②
由①、②得|x₁|=

6

2

，|y₁|=1，
此時(shí)x₁²+x₂²=3，y₁²+y₂²=2．
（ⅱ）當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=kx+m，
由題意知m≠0，將其代入

x2

3

+

y2

2

=1得
（2+3k²）x²+6kmx+3（m²-2）=0，
其中△=36k²m²-12（2+3k²）（m²-2）＞0，
即3k²+2＞m²，（★）
又x₁+x₂=-

6km

2+3k2

，x₁x₂=

3(m2-2)

2+3k2

，
∴|EG|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

•

2 6 • 3k2+2-m2

2+3k2

．
∵點(diǎn)O到直線l的距離為d=

|m|

1+k2

，
∴S_△OEG=

1

2

|EG|•d=

1

2

•

1+k2

•

2 6 • 3k2+2-m2

2+3k2

•

|m|

1+k2

=

6 |m|• 3k2+2-m2

2+3k2

．
又S_△OEG=

6

2

，
整理得3k²+2=2m²，且符合（★）式．
此時(shí)x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=3，y₁²+y₂²=2
綜上所述，x₁²+x₂²=3，y₁²+y₂²=2，結(jié)論成立．
同理可得：u²+x₁²=3，u²+x₂²=3，v²+y₁²=2，v²+y₂²=2，
解得u²=x₁²=x₂²=

3

2

；v²=y₁²=y₂²=1．
因此u，x₁，x₂只能從±

6

2

中選取，v，y₁，y₂只能從±1中選取．
因此P、E、G只能在（±

6

2

，±1）這四點(diǎn)中選取三個(gè)不同點(diǎn)，
而這三點(diǎn)的兩兩連線中必有一條過原點(diǎn)，與S_△OPE=S_△OPG=S_△OEG=

6

2

矛盾，
∴橢圓C上不存在滿足條件的三點(diǎn)P、E、G．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查三角形面積的計(jì)算，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力，難度大．