Question

（本小題滿分13分）已知定義在上的函數(shù)，.

（1）求證：存在唯一的零點(diǎn)，且零點(diǎn)屬于（3，4）；

（2）若且對(duì)任意的恒成立，求的最大值.

Answer 1

（1）詳見解析；（2）3.

【解析】

試題分析：（1）求導(dǎo)，可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，由零點(diǎn)存在定理可知函數(shù)存在唯一的零點(diǎn)；（2）由不等式對(duì)任意的恒成立可得，構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的最小值為，又，可得最大值.

試題解析：（1），，則，

故在上單調(diào)遞增，（3分）

而，

所以存在唯一的零點(diǎn).（6分）

（2）由（1）存在唯一的零點(diǎn)顯然滿足：，

且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，等價(jià)于，

設(shè).

則，故與同號(hào)，因此當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，（10分）

故，

由題意有，又，而，故的最大值是3.（13分）

考點(diǎn)：函數(shù)零點(diǎn)、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、函數(shù)單調(diào)性、最值.