Question

(10分)設(shè)和分別是先后拋擲一枚骰子得到的點數(shù)，用隨機(jī)變量表示方程
實根的個數(shù)（重根按一個計）．
（Ⅰ）求方程有實根的概率；
（Ⅱ）求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（Ⅲ）求在先后兩次出現(xiàn)的點數(shù)中有5的條件下，方程有實根的概率.

Answer 1

（Ⅰ）
（Ⅱ）


（Ⅲ）

本試題主要考查了古典概型概率的計算，以及分布列和數(shù)學(xué)期望的求解的綜合運用。
（1）中理解本題是一個等可能事件的概率，試驗發(fā)生包含的基本事件總數(shù)為6×6=36，那么借助于使方程有實根△=b²-4c≥0，得到事件A發(fā)生的基本事件數(shù)，得到概率值。
（2）利用ξ=0，1，2的可能取值，分別得到各個取值的概率值，然后寫出分布列和數(shù)學(xué)期望值
（3）分析在先后兩次出現(xiàn)的點數(shù)中有5的條件下，方程x²+bx+c=0有實根，這是一個條件概率，利用條件概率公式得到結(jié)論。
解：（I）由題意知，本題是一個等可能事件的概率，
試驗發(fā)生包含的基本事件總數(shù)為6×6=36，
滿足條件的事件是使方程有實根，則△=b²-4c≥0，即．
下面針對于c的取值進(jìn)行討論
當(dāng)c=1時，b=2，3，4，5，6； 當(dāng)c=2時，b=3，4，5，6；
當(dāng)c=3時，b=4，5，6；       當(dāng)c=4時，b=4，5，6；
當(dāng)c=5時，b=5，6；          當(dāng)c=6時，b=5，6，
目標(biāo)事件個數(shù)為5+4+3+3+2+2=19，
因此方程有實根的概率為
（II）由題意知用隨機(jī)變量ξ表示方程實根的個數(shù)得到
ξ=0，1，2   根據(jù)第一問做出的結(jié)果得到
則，，，
∴ξ的分布列為

∴ξ的數(shù)學(xué)期望  
（III）在先后兩次出現(xiàn)的點數(shù)中有5的條件下，方程x²+bx+c=0有實根，
這是一個條件概率，
記“先后兩次出現(xiàn)的點數(shù)中有5”為事件M，
“方程有實根”為事件N，
則，，    ∴