Question

如圖，在三角形ABC中，角A，B，C成等差數(shù)列，D是BC邊的中點，AD=

3

AB=

3

．
（1）求邊長AC的長；
（2）求sin∠DAC的值．

Answer 1

分析：（I）由A，B，C成等差數(shù)列及三角形的內(nèi)角和定理可求B，然后在△ABD中，由余弦定理可求BD，進(jìn)而在△ABC中，再次利用余弦定理可求AC
（II）由（I）可得，BD²=AB²+AD²可求∠ABD，∠ADC，在△ADC中，由 正弦定理可得

AC

sin∠ADC

=

DC

sin∠DAC

即可求解

解答：解：（I）∵A，B，C成等差數(shù)列
∴A+B+C=3B=π
∴B=

1

3

π
在△ABD中，由余弦定理可得AD2=AB2+BD2-2AB•BDcos

1

3

π
得3=1+BD²-BD，解得BD=2或BD=-1（舍）
△ABC中，因為BC=2BD=4
所以由余弦定理可得，AC2=AB2+BC2-2AB•BCcos

1

3

π
得AC=

13

（II）由（I）可得，BD²=AB²+AD²
∴∠ABD=

1

2

π，∠ADC=

5π

6

△ADC中，由 正弦定理可得

AC

sin∠ADC

=

DC

sin∠DAC

∴sin∠DAC=

DC

AC

sin∠ADC=

13

13

點評：本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理及正弦定理、余弦定理等知識在求解三角形中的綜合應(yīng)用