Question

已知在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1+a_n=2n，求數(shù)列前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由已知得a_n+2-a_n=2，從而數(shù)列{a_n}的奇數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公差的等左數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)也是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，由此能求出數(shù)列前n項(xiàng)和S_n．

解答： 解：∵在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1+a_n=2n，
∴a_n+2+a_n+1=2（n+1），
∴a_n+2-a_n=2，
又a₂+a₁=2，∴a₂=1，
∴數(shù)列{a_n}的奇數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公差的等左數(shù)列，
偶數(shù)項(xiàng)也是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，
∴當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，
S_n=（a₁+a₃+a₅+…+a_n）+（a₂+a₄+a₆+…+a_n-1）
=

n+1

2

+

n+1 2 ( n+1 2 -1)

2

×2+

n-1

2

+

n-1 2 ( n-1 2 -1)

2

×2
=n+

(n-1)2

2

．
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，
S_n=（a₁+a₃+a₅+…+a_n-1）+（a₂+a₄+a₆+…+a_n）
=

n

2

+

n 2 ( n 2 -1)

2

×2+

n

2

+

n 2 ( n 2 -1)

2

×2
=n+

n(n-2)

2

=

n2

2

．
∴S_n=

n+ (n-1)2 2 ，n為奇數(shù) n2 2 ，n為偶數(shù)

．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分類討論思想的合理運(yùn)用．