Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=3，，n∈N⁺．
（1）證明數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)b_n=a_n（a_n+1-2），數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n，求證：S_n＜2；
（3）設(shè)c_n=n²（a_n-2），求c_nc_n+1的最大值．

Answer 1

（1）證明：∵，
又，
∴等比數(shù)列，且公比為2，
∴，
解得．
（2）證明：，
∴當n≥2時，

=
=．
（3）解：
令，（10分）
∴[（n+2）²-4n²]2ⁿ＞（n+2）²-n²，
∴（3n+2）（2-n）2ⁿ＞4n+4，
解n=1．

所以：c₁c₂＜c₂c₃＞c₃c₄＞…
故．
分析：（1）由，，由此能夠證明數(shù)列為等比數(shù)列，并能求出數(shù)列{a_n}的通項公式．
（2），所以當n≥2時，，由此能證明S_n＜2．
（3），令，所以[（n+2）²-4n²]2ⁿ＞（n+2）²-n²，解得n=1，由此能夠求出c_nc_n+1的最大值．
點評：本題考查數(shù)列與不等式的綜合運用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對數(shù)學思維的要求比較高，計算量大，有一定的探索性．綜合性強，難度大，易出錯．解題時要認真審題，注意計算能力的培養(yǎng)．