Question

某商品每件成本5元，售價14元，每星期賣出75件．如果降低價格，銷售量可以增加，且每星期多賣出的商品件數(shù)m與商品單價的降低值x（單位：元，0≤x＜9）的平方成正比，已知商品單價降低1元時，一星期多賣出5件．
（1）將一星期的商品銷售利潤y表示成x的函數(shù)；
（2）如何定價才能使一個星期的商品銷售利潤最大？

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,函數(shù)模型的選擇與應用

專題：應用題,導數(shù)的概念及應用

分析：（1）依題意，設m=kx²，由已知有5=k•1²，可求得k值，根據(jù)單件利潤×銷售量可得函數(shù)式；
（2）利用導數(shù)即可求得函數(shù)的最大值，注意函數(shù)定義域；

解答： 解：（1）依題意，設m=kx²，由已知有5=k•1²，從而k=5，
∴m=5x²，
∴y=（14-x-5）（75+5x²）=-5x³+45x²-75x+675（0≤x＜9）；
（2）∵y′=-15x²+90x-75=-15（x-1）（x-5），
由y′＞0，得 1＜x＜5，由y′＜0，得 0≤x＜1或5＜x＜9，
可知函數(shù)y在[0，1）上遞減，在（1，5）遞增，在（5，9）上遞減，
從而函數(shù)y取得最大值的可能位置為x=0或是x=5，
∵y（0）=675，y（5）=800，
∴當x=5時，y_max=800，
答：商品每件定價為9元時，可使一個星期的商品銷售利潤最大．

點評：本題考查利用導數(shù)求函數(shù)的最值、實際問題中函數(shù)模型的構(gòu)建問題，考查學生利用數(shù)學知識分析解決實際問題的能力．