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已知平面內向量
a
，
b
，
c
兩兩所成的角相等且兩兩夾角不為0，且|
a
|=1，|
b
|=2，|
c
|=3，
（1）求向量
a
+
b
+
c
的長度；
（2）求向量
a
+
b
+
c
與
a
的夾角．
分析：（1）平面內向量
a
，
b
，
c
兩兩所成的角相等，得到三個向量所成的角都是120°，根據模長公式表示出要求的向量的模長，根據所給的條件得到模長的值．
（2）把所給的向量代入求模長的公式，根據已知向量的模長和向量之間的夾角求出向量的夾角的余弦值，得到兩個向量的夾角．
解答：解：（1）∵平面內向量
a
，
b
，
c
兩兩所成的角相等，
∴三個向量所成的角都是120°，
∴|
a
+
b
+
c
|2=
a
2+
b
2+
c
2+2
a
•
b
+2•
b
•
c
+2
a
•
c

=1+4+9-2-6-3=3
∴|
a
+
b
+
c
|=
3

（2）設兩個向量的夾角為θ，
∴cosθ=
a
•(
a
+
b
+
c
) 
|
a
||
a
+
b
+
c
|
=
1-1-
3
2
3
=-
3
2

∴兩個向量的夾角是
5
6
π，
即兩個向量之間的夾角是
5
6
π．
點評：本題考查利用向量的數量積表示向量的夾角和向量的模長公式的應用，本題解題的關鍵是正確利用向量的模長公式和求夾角的公式．本題是一個基礎題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•安徽模擬）給出下列命題，其中正確的命題是
①③④
①③④
（寫出所有正確命題的編號）．
①非零向量
a
、
b
滿足|
a
|=|
b
|=|
a
-
b
|，則
a
與
a
+
b
的夾角為30°；
②已知非零向量
a
、
b
，則“
a
•
b
＞0”是“
a
、
b
的夾角為銳角”的充要條件；
③命題“在三棱錐O-ABC中，已知
OP
=x
OA
+y
OB
-2
OC
，若點P在△ABC所在的平面內，則x+y=3”的否命題為真命題；
④若(
AB
+
AC
)•(
AB
-
AC
)=0，則△ABC為等腰三角形．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知對任意平面向量
AB
=（x，y），把
AB
繞其起點沿逆時針方向旋轉θ角得到向量
AP
=（xcosθ-ysinθ，xsinθ+ycosθ），叫做把點B繞點A逆時針方向旋轉θ角得到點P．已知平面內點A（1，2），B（1+
2
，2-2
2
）；把點B繞A點沿順時針方向旋轉
π
4
后得到點P，則P點坐標是
（0，-1）
（0，-1）
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知對任意平面向量
AB
=(x，y)，將
AB
繞其起點沿順時針方向旋轉θ角得到向量
AP
=(xcosθ+ysinθ，-xsinθ+ycosθ)，叫做將點B繞點A沿順時針方向旋轉θ角得到點P．
（1）已知平面內點A（1，2），點B(1+
2
，2-2
2
)，將點B繞點A沿順時針方向旋轉
π
4
得到點P，求點P的坐標；
（2）設平面內曲線3x2+3y2+2xy=4上的每一點繞坐標原點O沿順時針方向旋轉
π
4
得到的點的軌跡是曲線C，求曲線C的方程；
（3）過（2）中曲線C的焦點的直線l與曲線C交于不同的兩點A、B，當
OA
•
OB
=0時，求△AOB的面積．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知平面內向量
a
，
b
，
c
兩兩所成的角相等且兩兩夾角不為0，且|
a
|=1，|
b
|=2，|
c
|=3，
（1）求向量
a
+
b
+
c
的長度；
（2）求向量
a
+
b
+
c
與
a
的夾角．

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