Question

如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A′B′C′D′中，AP=BQ=b（0＜b＜1），截面PQEF∥A′D，截面PQGH∥AD′．
（1）證明：平面PQEF和平面PQGH互相垂直；
（2）證明：截面PQEF和截面PQGH面積之和是定值，并求出這個值；
（3）若D′E與平面PQEF所成的角為45°，求D′E與平面PQGH所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（解法一）
（Ⅰ）由題意得 A′D∥PF，PH∥AD'，PQ∥AB，又因AD'⊥A'D，AD'⊥AB，得到PH⊥PF，PH⊥PQ，
可證PH⊥平面PQEF，用面面垂直的判定定理即證．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知截面PQEF和截面PQGH都是矩形，且，PQ=1，代入
面積公式求解．
（III）連接BC′交EQ于點M，得到平面ABC'D'∥平面PQGH，所求的角轉化到D'E與平面ABC'D'所成
角，由（Ⅰ）知EM⊥平面ABC'D則'EM與D'E的比值就是所求的正弦值，根據已知條件求出b的
值，在直角三角形中求解．
（解法二）
（Ⅰ）用數量積為零求平面PQEF的法向量和平面PQGH的法向量，求它們的數量積為零證出
面面垂直．
（Ⅱ）用數量積為零證出截面PQEF和截面PQGH都是矩形，用兩點間的距離公式求出鄰邊得長度，再
求面積和．
（III）由（Ⅰ）知平面PQEF和平面PQGH的法向量，用數量積根據已知條件先求出b的值，再求向量所
成角的余弦值．
解答：解：解法一：
（Ⅰ）證明：∵面PQEF∥A′D，平面PQEF∩平面A′ADD'=PF
∴A′D∥PF，同理可得PH∥AD'，
∵AP=BQ=b，AP∥BQ；∴APBQ是平行四邊形，∴PQ∥AB，
∵在正方體中，AD'⊥A'D，AD'⊥AB，
∴PH⊥PF，PH⊥PQ，
∴PH⊥平面PQEF，PH?平面PQGH．
∴平面PQEF⊥平面PQGH．（4分）
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知
，截面PQEF和截面PQGH都是矩形，且PQ=1，
∴截面PQEF和截面PQGH面積之和是，是定值．（8分）

（III）解：連接BC′交EQ于點M．
∵PH∥AD'，PQ∥AB；PH∩PQ=P，，AD'∩AB=A
∴平面ABC'D'∥平面PQGH，
∴D'E與平面PQGH所成角與D'E與平面ABC'D'所成角相等．
由（Ⅰ）同理可證EQ⊥平面PQGH，可知EM⊥平面ABC'D'，
∴EM與D'E的比值就是所求的正弦值．
設AD'交PF于點N，連接EN，由FD=1-b知
．
∵AD'⊥平面PQEF，又已知D'E與平面PQEF成45°角，
∴，即，
解得，可知E為BC中點．
∴EM=，又，
∴D'E與平面PQCH所成角的正弦值為．（12分）

解法二：
以D為原點，射線DA，DC，DD′分別為x，y，z軸的正半軸建立如圖的空間直角坐標系D-xyz由已知得DF=1-b，
故A（1，0，0），A'（1，0，1），D（0，0，0），D'（0，0，1），P（1，0，b），Q（1，1，b），
E（1-b，1，0），F（1-b，0，0），G（b，1，1），H（b，0，1）．
（Ⅰ）證明：在所建立的坐標系中，
可得，，．
∵，∴是平面PQEF的法向量．
∵，∴是平面PQGH的法向量．
∵，∴，
∴平面PQEF⊥平面PQGH．（4分）

（Ⅱ）證明：∵，
∴，
又∵，∴PQEF為矩形，同理PQGH為矩形．
在坐標系中可求得，，
∴，又，
∴截面PQEF和截面PQGH面積之和為，是定值．（8分）

（Ⅲ）解：由已知得與成45°角，又
可得，
即，解得．
∴，又，
∴D'E與平面PQGH所成角的正弦值為．（12分）
點評：本題主要考查空間中的線面、面面垂直和平行的定理，線面角的求法，解三角形等基礎知識；本題為一題多解的情況，一種是向量法，另一種是幾何法，對于求線面角向量法簡單，因用此法；還考查轉化思想與邏輯思維能力，屬于難度很大的題．