Question

某油庫(kù)己儲(chǔ)油料A噸，按計(jì)劃正式運(yùn)營(yíng)后的第一年進(jìn)油量為己儲(chǔ)油量的25%，以后每年的進(jìn)油量為上一年底儲(chǔ)油量的25%，且每年運(yùn)出B噸，設(shè)A_n為正式運(yùn)營(yíng)后第n年底的儲(chǔ)油量.

（1）求A_n的表達(dá)式并加以證明；

（2）為抵御突發(fā)事件，該油庫(kù)年底儲(chǔ)油量不得少于A噸，如果B=A噸，該油庫(kù)能否長(zhǎng)期按計(jì)劃運(yùn)營(yíng)，如果可以請(qǐng)加以證明，如果不行請(qǐng)說(shuō)明理由.

（取1g2=0.30，1g3=0.48）

Answer 1

答案：
解析：

（1）依題意，油庫(kù)原有儲(chǔ)油量為A噸，則A1=A－B, A2=A1－B=()2A－(+1)B, A3=A2－B=()3A－[()2++1]B, 推測(cè)：An=（）nA－[ ()n－1+ ()n－2+…++1]B=（）nA－4[ ()n－1]B(n∈N*). 用數(shù)學(xué)歸納法證明. ①當(dāng)n=1時(shí)，A1=A－4[ (－1)B=A－B，推測(cè)成立. ②假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1，k∈N*)時(shí)，Ak=（）kA－4[()k－1]B成立 當(dāng)n=k+1時(shí)，依題意Ak+1=Ak－B. ∴Ak+1={()kA－4[()k－1]B}－B =()k+1A－4[()k+1－]B－B =()k+1A－4[()k+1－1]B. 即當(dāng)n=k+1時(shí)，推測(cè)也成立. 由①②知，對(duì)于n∈N*,推測(cè)成立. （2）如果B=A噸時(shí)，該油庫(kù)第n年年底儲(chǔ)油量不得少于A噸，即（）nA－4[()n－1]· A≥A.即（）n≤3. n≤1og3==4.8. 說(shuō)明該油庫(kù)只能在5年內(nèi)運(yùn)營(yíng)，因此不能長(zhǎng)期運(yùn)營(yíng).