某油庫己儲油料A噸,按計劃正式運營后的第一年進油量為己儲油量的25%,以后每年的進油量為上一年底儲油量的25%,且每年運出B噸,設An為正式運營后第n年底的儲油量.

1)求An的表達式并加以證明;

2)為抵御突發(fā)事件,該油庫年底儲油量不得少于A噸,如果B=A噸,該油庫能否長期按計劃運營,如果可以請加以證明,如果不行請說明理由.

(取1g2=0.30,1g3=0.48

答案:
解析:

(1)依題意,油庫原有儲油量為A噸,則A1=AB,

A2=A1B=()2A-(+1)B,

A3=A2B=()3A-[()2++1]B,

推測:An=(nA-[ ()n1+ ()n2+…++1]B=(nA-4[ ()n-1]B(n∈N*).

用數(shù)學歸納法證明.

①當n=1時,A1=A-4[ (-1)B=AB,推測成立.

②假設當n=k(k≥1,k∈N*)時,Ak=(kA-4[()k-1]B成立

當n=k+1時,依題意Ak+1=AkB.

Ak+1={()kA-4[()k-1]B}-B

=()k+1A-4[()k+1]BB

=()k+1A-4[()k+1-1]B.

即當n=k+1時,推測也成立.

由①②知,對于n∈N*,推測成立.

(2)如果B=A噸時,該油庫第n年年底儲油量不得少于A噸,即(nA-4[()n-1]·

AA.即(n≤3.

n≤1og3==4.8.

說明該油庫只能在5年內(nèi)運營,因此不能長期運營.


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