【題目】已知橢圓的上頂點(diǎn)為,且過(guò)點(diǎn).
(1)求橢圓的方程及其離心率;
(2)斜率為的直線與橢圓交于兩個(gè)不同的點(diǎn),當(dāng)直線的斜率之積是不為0的定值時(shí),求此時(shí)的面積的最大值.
【答案】(1),;(2)1
【解析】
試題(1)由題意易得,將點(diǎn)代入到橢圓方程可得的值,即可得橢圓的方程及其離心率;(2)設(shè)直線的方程為,聯(lián)立直線與橢圓的方程,運(yùn)用韋達(dá)定理,將化簡(jiǎn)為,根據(jù)其為定值得的值,然后利用弦長(zhǎng)公式將表示為關(guān)于的函數(shù),利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得結(jié)果.
試題解析:(1)由題意可得.
又在橢圓上,所以,解得,
所以橢圓的方程為,
所以,故橢圓的離心率.
(2)設(shè)直線的方程為.
由,消去,得,
所以,
設(shè),則. ,
由題意,為定值,所以,即,解得.
此時(shí)
, 點(diǎn)到直線的距離.
.
顯然,當(dāng)(此時(shí),滿足),即時(shí),取得最大值,最大值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)。
(I)當(dāng)時(shí),證明:當(dāng)時(shí),;
(II)若當(dāng)時(shí),恒成立,求a的取值范圍。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】三棱柱中,平面,是邊長(zhǎng)為的等邊三角形,為邊中點(diǎn),且.
(1)求證:平面平面;
(2)求證:平面;
(3)求三棱錐的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在含有個(gè)元素的集合中,若這個(gè)元素的一個(gè)排列(,,…,)滿足,則稱這個(gè)排列為集合的一個(gè)錯(cuò)位排列(例如:對(duì)于集合,排列是的一個(gè)錯(cuò)位排列;排列不是的一個(gè)錯(cuò)位排列).記集合的所有錯(cuò)位排列的個(gè)數(shù)為.
(1)直接寫出,,,的值;
(2)當(dāng)時(shí),試用,表示,并說(shuō)明理由;
(3)試用數(shù)學(xué)歸納法證明:為奇數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知圓的圓心為原點(diǎn),且與直線相切.
(1)求圓的方程;
(2)點(diǎn)在直線上,過(guò)點(diǎn)引圓的兩條切線,,切點(diǎn)為,,求證:直線恒過(guò)定點(diǎn).
(3)求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】假設(shè)關(guān)于某設(shè)備的使用年限x和所支出的維修費(fèi)用y(萬(wàn)元)有如下的統(tǒng)計(jì)資料:
使用年限x | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
維修費(fèi)用y | 2.2 | 3.8 | 5.5 | 6.5 | 7.0 |
若由資料知y對(duì)x呈線性相關(guān)關(guān)系.
(1)請(qǐng)畫出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖;
(2)請(qǐng)根據(jù)最小二乘法求出線性回歸方程的回歸系數(shù)a,b;
(3)估計(jì)使用年限為10年時(shí),維修費(fèi)用是多少?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,D是AC的中點(diǎn),四邊形BDEF是菱形,平面平面ABC,,,.
若點(diǎn)M是線段BF的中點(diǎn),證明:平面AMC;
求平面AEF與平面BCF所成的銳二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知拋物線:,不過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交于,兩點(diǎn).
(Ⅰ)若,證明:直線過(guò)定點(diǎn);
(Ⅱ)設(shè)過(guò)且與相切的直線為,過(guò)且與相切的直線為.當(dāng)與交于點(diǎn)時(shí),求的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)記函數(shù)的極值點(diǎn)為,若,且,求證:
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